Bab 8
ANALISIS VARIANSI (ANOVA)
Matematika – Trigonometri – Sudut istimewa
dalam menentukan nilai dari fungsi trigonometri kita dapat menggunakan banyak cara, diantaranya :
menggunakan tabel fungsi trigonometri,
menggunakan kalkulator, dan
menggunakan sudut istimewa pada fungsi trigonometri.
penggunaan tabel fungsi trigonometri berguna pada saat kita menyelesaikan soal dengan sudut sembarang antara 0,00 hingga 90,00 dengan ketelitian yang cukup tinggi, sedangkan penggunaan kalkulator berguna pada saat kita memeriksa hasil dari usaha dalam menyelesaikan soal diatas tapi didalam UAN dan SPMB jarang sekali diperbolehkan menggunakan keduanya. penggunaan sudut istimewa sangat sering digunakan pada kedua ujian tersebut.
dengan memanfaatkan sudut istimewa pada fungsi trigonometri maka kita bisa mendapatkan nilai fungsi secara cepat, sudut-sudut tersebut ialah :
nilai-nilai tersebut didapat dari permisalan berikut :
contoh penggunaan gambar diatas sebagai berikut :
nilai dari sin 30 adalah ...
seperti kita ketahui bahwa sin adalah depan bagi miring, maka 1 ÷ 2 = ½.
nilai dari cos 30 adalah ...
cos adalah samping bagi miring, maka √3 ÷ 2 = ½ √3
dalam menentukan nilai dari fungsi trigonometri kita dapat menggunakan banyak cara, diantaranya :
menggunakan tabel fungsi trigonometri,
menggunakan kalkulator, dan
menggunakan sudut istimewa pada fungsi trigonometri.
penggunaan tabel fungsi trigonometri berguna pada saat kita menyelesaikan soal dengan sudut sembarang antara 0,00 hingga 90,00 dengan ketelitian yang cukup tinggi, sedangkan penggunaan kalkulator berguna pada saat kita memeriksa hasil dari usaha dalam menyelesaikan soal diatas tapi didalam UAN dan SPMB jarang sekali diperbolehkan menggunakan keduanya. penggunaan sudut istimewa sangat sering digunakan pada kedua ujian tersebut.
dengan memanfaatkan sudut istimewa pada fungsi trigonometri maka kita bisa mendapatkan nilai fungsi secara cepat, sudut-sudut tersebut ialah :
nilai-nilai tersebut didapat dari permisalan berikut :
contoh penggunaan gambar diatas sebagai berikut :
nilai dari sin 30 adalah ...
seperti kita ketahui bahwa sin adalah depan bagi miring, maka 1 ÷ 2 = ½.
nilai dari cos 30 adalah ...
cos adalah samping bagi miring, maka √3 ÷ 2 = ½ √3
Selasa, 15 September 2009
ANALISIS VARIANSI (ANOVA)
ANALISIS VARIANSI (ANAVA)
Analysis of Variances (ANOVA)
Sumber : Budiyono. 2004. Statistika untuk Penelitian. Surakarta : Sebelas Maret University Press
A. PENGERTIAN
Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi?
Pada kesempatan yang lalu telah dipelajari uji hipotesa untuk membandingkan dua populasi berdasarkan uji beda rataan dan atau berdasarkan uji hubungan.
Sebelum kita memahami lebih jauh tentang Analisis Variansi, perhatikanlah contoh berikut
Contoh 1
Seorang peneliti pendidikan untuk program studi matematika ingin meneliti efektivitas dari 3 metode pembelajaran jika ditinjau dari prestasi belajar siswa. Ia telah memilih 3 metode pembelajaran, yaitu Metode Teacher Oriented, Active Learning dan Contextual Learning.
Ketiga metode tersebut diterapkan untuk 3 sampel, artinya sample pertama diterapkan Metode Pembelajaran Teacher Oriented, sample kedua diterapkan Metode Pembelajaran Active Learning, dan pada sample ketiga diterapkan Metode Pembelajaran Contextual Learning. Ketiga sample tersebut telah diyakinkan bahwa kemampuan awal yang dimiliki oleh masing-masing sample adalah relatif sama. Peneliti tersebut bertujuan untuk menguji ada atau tidaknya perbedaan efek/pengaruh beberapa perlakuan pada ketiga sample ditinjau dari prestasi belajar siswa. Untuk melihatnya, peneliti tersebut menggunakan rata-rata nilai dari masing-masing sample. Setelah beberapa waktu eksperimen, peneliti tersebut melakukan pengujian sebagai tolak ukur untuk mengetahui prestasi belajar siswa. Setelah data diperoleh, uji statistik apakah yang dapat direkomendasikan untuk dapat digunakan peneliti tersebut dalam usaha mengambil kesimpulan?
Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa terdapat tiga sample yang diambil dari populasi, satu variable bebas, yaitu model pembelajaran, dan satu variable terikat, yaitu prestasi belajar siswa. Variabel bebas ini dibagi menjadi 3 bagian yaitu model pembelajaran Teacher Oriented, Active Learning dan Contextual Learning.
Statistik uji beda rataan untuk k-populasi yaitu Analisis Variansi
Jadi dapat disimpulkan bahwa
Analisis Variansi (ANAVA) atau Analysis of Variances (ANOVA) adalah prosedur pengujian kesamaan beberapa rata-rata populasi.
Dalam Analisis Variansi, dapat dilihat variasi-variasi yang muncul karena adanya beberapa perlakuan (treatment) untuk menyimpulkan ada atau tidaknya perbedaan rataan pada k-populasi.
Ahli statistik yang mempunyai kontribusi besar dalam mengembangkan uji Analisis Variansi ini adalah Sir Ronald A. Fisher (1890 – 1962)
B. KLASIFIKASI
Pada Contoh 1 diatas dapat Anda identifikasi bahwa satu variable bebas, yaitu model pembelajaran, dan satu variable terikat, yaitu prestasi belajar siswa.
Berdasarkan banyak variable terikat-nya, Analisis Variansi diklasifikasikan menjadi dua kelompok, yaitu
1. Analisis Variansi Univariate
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat
2. Analisis Variansi Mutivatiate
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat
Berdasarkan banyaknya variable bebas-nya, Analisis Variansi Univariate dibagi menjadi tiga kelompok yaitu
1. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan satu variabel bebas
2. Analisis Variansi Univariate Dua Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan dua variabel bebas
3. Analisis Variansi Univariate Tiga Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan tiga variabel bebas
Berdasarkan banyaknya variable bebas-nya, Analisis Variansi Multivariate juga dibagi menjadi 3 bagian yaitu
1. Analisis Variansi Multivariate Satu Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan satu variabel bebas
2. Analisis Variansi Multivariate Dua Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan dua variabel bebas
3. Analisis Variansi Multivariate Tiga Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan tiga variabel bebas
Pada bab ini, kita akan mempelajari terutama untuk Analisis Variansi Univariate
C. PERSYARATAN ANALISIS VARIANSI
Tidak semua jenis penelitian dapat dianalisia dengan Analisis Variansi, tetapi penelitian yang hanya memenuhi persyaratan Analisis Variansi.
Adapun persyaratan untuk Analisis Variansi adalah
1. Setiap sample diambil secara random dari populasinya
Dalam statistika, untuk hal pengambilan sample harus dilakukan secara random (acak) dari populasinya. Hal ini dimaksudkan agar diperoleh sample yang dapat mewakili populasinya (representative)
Tambahkan dengan teknik sampling di buku metodologi penelitian
2. Masing-masing populasi saling independen dan masing-masing data amatan saling independen di dalam kelompoknya
Dipenuhinya persyaratan ini dimaksudkan agar perlakuan yang diberikan kepada masing-masing sample independen antara satu dengan yang lainnya. Dengan kata lain antara sample satu dengan sample yang lain berdiri sendiri dan tidak ada keterkaitan/hubungan.
Misalkan dilakukan eksperimen tindakan kelas yang ditinjau dari prestasi belajar siswa. Saat dilakukan pengujian, peneliti harus menjamin bahwa antara sample yang satu dengan yang lainnya independen/tidak ada hubungan/tidak ada kerjasama sehingga data yang diperoleh merupakan data yang valid, artinya alat tes yang sudah diberikan kepada salah satu sample diusahakan jangan sampai diberikan kepada sample yang lain.
Untuk masing-masing populasi harus saling independen dan masing-masing data amatan harus saling independen di dalam kelompoknya, dalam arti bahwa kesalahan yang terjadi pada suatu data amatan harus independen dengan kesalahan yang terjadi pada data amatan yang lain.
Andaikan solusi independen antar tes dapat diselesaikan dengan memilih sample – sample yang mewakili populasi-populasi yang berbeda, maka peneliti juga harus menjamin sifat independen antar data amatan
Untuk menguji independence, dapat digunakan uji kecocokan (goodness – of – fit test).
Teorema Goodness – of – fit test
Uji kecocokan antara frekuensi amatan (observed frequencies) dan frekuensi harapan (expected frequencies) mendasarkan kepada kuantitas berikut :
Dimana nilai-nilai dari mendekati nilai-nilai dari variable random chi kuadrat
Lambang oi menyatakan frekuensi amatan dan lambang ei menyatakan frekuensi data yang diharapkan
Teorema Derajat Kebebasan untuk Uji Kecocokan
Bilangan yang menunjukkan derajat kebebasan pada uji kecocokan chi kuadrat adalah banyaknya sel dikurangi banyaknya kuantitas yang diperoleh dari data amatan yang digunakan untuk menghitung frekuensi harapan.
Pada uji ini, yang dirumuskan ialah bahwa data amatan mempunyai distribusi tertentu yang dihipotesiskan dan sebagai daerah kritiknya adalah
Dengan v = derajat kebebasan
Berdasarkan Teorema Goodness-of-Fit Test diatas dapat dilihat bahwa semakin kecil nilai-nilai menunjukkan data yang diamati semakin mendekati distribusi yang diteorikan.
3. Setiap populasi berdistribusi normal (Sifat Normalitas Populasi)
• Persyaratan normalitas populasi harus dipenuhi karena Analisis Variansi pada dasarnya adalah uji beda rataan, sama seperti uji beda rataan 2 populasi, misal uji t dan uji Z
• Sebelum dilakukan uji beda rata-rata, harus ditunjukkan bahwa sampelnya diambil dari populasi normal.
• Apabila masing-masing sample berukuran besar dan diambil dari populasi yang berukuran besar, biasanya masalah normalitas ini tidak menjadi masalah yang pelik, karena populasi yang berukuran besar cenderung berdistribusi normal.
• Terdapat 2 cara yang sering digunakan untuk uji normalitas, yaitu dengan variable random chi kuadrat (dikatakan sebagai uji secara parametrik karena menggunakan penafsir rataan dan deviasi baku) dan dengan metode Lilliefors (uji ini merupakan uji secara non-parametrik).
• Uji Normalitas dengan Chi Kuadrat
Uji kenormalan dapat dilakukan dengan menggunakan Teorema Goodness – of – fit test dan Teorema Derajat Kebebasan untuk Uji Kecocokan diatas. Pada uji ini, untuk menentukan frekuensi harapan, dilakukan tiga cuantiítas, yaitu frekuensi total, rataan, dan deviasi baku sehingga derajat kebebasannya adalah (k-3).
Untuk dapat menggunakan cara ini, datanya harus dinyatakan dalam distribuís frekuensi data bergolong. Prinsip yang dipakai dalam uji ini adalah membandingkan antara histogram data amatan dengan histogram yang kurva poligon frekuensinya mendekati distribusi normal
• Uji Normalitas dengan Metode Lilliefors
Uji normalitas dengan metode ini digunakan apabila datanya tidak dalam distribusi frekuensi bergolong. Pada metode ini, setiap data diubah menjadi bilangan baku dengan transformasi
Statistik uji untuk metode ini adalah L = dengan dan = proporsi cacah terhadap seluruh .
Sebagai daerah kritiknya : dengan n sebagai ukuran populasi
• Jika persyaratan normalitas populasi ini tidak dipenuhi, peneliti harus dapat melakukan transformasi data sedemikian hingga data yang baru memenuhi persyaratan normalitas populasi ini dan Analisis Variansi ini dapat diberlakukan pada data yang baru hasil transformasi
4. Populasi-populasi mempunyai variansi yang sama (Sifat Homogenitas Variansi Populasi)
Persyaratan ini harus dipenuhi karena didalam Analisis Variansi ini dihitung variansi gabungan (pooled varince) dari variansi-variansi kelompok
Hal ini berkaitan dengan digunakannya uji F pada Analisis Variansi, yang apabila variansi populasi tidak sama maka uji F tidak dapat digunakan
Salah satu uji homogenitas variansi untuk k-populasi adalah Uji Bartlett. Uji ini mempunyai 2 bentuk.
Uji Bartlett bentuk pertama
Langkah komputasinya adalah
1. Hitunglah masing-masing variansi dari k-populasi yaitu dari sampel yang berukuran
2. Hitung variansi gabungan yang dirumuskan oleh
3. Hitung bilangan b yang dirumuskan dengan yang merupakan nilai dari variabel random B yang mempunyai distribusi Bartlett
4. Tentukan daerah kritiknya : dengan
Uji Bartlett bentuk kedua
Statistik Uji :
dengan
= banyaknya populasi = banyaknya sampel
= banyaknya seluruh nilai (ukuran)
= banyaknya nilai (ukuran) smapel ke-j = ukuran sampel ke-j
= = derajat kebebasan untuk
= = derajat kebebasan untuk RKG
RKG = rataan kuadrat galat =
= =
CATATAN
Dalam Analisis Variansi, masing-masing kelompok yang digunakan sebagai sample dari populasinya masing-masing sehingga jika terdapat k-sampel yang diambil dari k-populasi dan setiap sample mendapat perlakuan (treatment) sendiri-sendiri maka dapat dikatakan k-sampel identik dengan k-populasi
Atau dengan kata lain,
Populasi-populasi pada Analisis Variansi merupakan sub-sub populasi dari populasi penelitian
D. PENYIMPANGAN PESYARATAN ANALISIS VARIANSI
Sejumlah penelitian telah dilakukan untuk mengetahui efek penyimpangan dari asumsi dalam Analisis Variansi. Penelitian ini menunjukkan bahwa terdapat sedikit efek/akibat bila asumsi yang mendasari Analisis Variansi tidak secara pasti memuaskan sehingga sedikit penyimpanagan dari asumsi akan mendapat sedikit perhatian pula
E. ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN
Analisis ini digunakan jika data eksperimen mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :
1. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi
2. Mempunyai satu variable terikat
3. Mempunyai satu variable bebas
Contoh 2
Seorang peneliti pendidikan ingin meneliti pengaruh waktu pengajaran ditinjau dari prestasi belajar siswa. Peneliti tersebut memilih masing-masing satu kelas untuk tiga sekolah yang telah ditentukan sebelumnya dan telah diyakinkan bahwa ketiga sekolah dan ketiga kelas tersebut mempunyai kemampuan/prestasi yang relatif sama. Dari ketiga kelas tersebut, satu kelas diajarkan matematika tiap pagi hari, satu kelas lagi diajarkan matematika tiap siang hari, dan satu kelas terakhir diajarkan matematika tiap sore hari selama waktu eksperimen.
Dari Contoh 2 dapat diidentifikasi variable bebas dan variable terikatnya yaitu
Variabel terikat :
Variabel bebas :
Jika diasumsikan bahwa keempat persyaratan dari Analisis Variansi diatas telah terpenuhi dan telah diidentifikasi variable-variabelnya, maka pada Contoh 2 diatas dapat digunakan uji
Analisis Variansi …
Contoh 3
Seperti Contoh 2 diatas, misalkan disamping diuji pengaruh waktu mengajar terhadap prestasi belajar siswa, secara serentak juga akan dilihat pengaruh ukuran kelas (besar dan kecil) terhadap prestasi belajar siswa, maka akan terdapat variable tambahan sehingga dapat diidentifikasikan variable terikat dan variable bebasnya yaitu
Variabel terikat :
Variabel bebas :
Jika diasumsikan bahwa keempat persyaratan dari Analisis Variansi diatas telah terpenuhi dan telah diidentifikasi variable-variabelnya, maka pada Contoh 3 dapat digunakan uji
Analisis Variansi …
Berdasarkan ukuran data amatan, Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dapat digolongkan menjadi 2 yaitu
1. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Sama
2. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Berbeda
ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN DENGAN SEL SAMA
- Syarat
Uji ini digunakan jika data amatan hasil eksperimen memenuhi persyaratan sebagai berikut
i. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi
ii. Mempunyai satu variabel terikat
iii. Mempunyai satu variable bebas
iv. Ukuran masing-masing sample adalah sama
- Misalkan ukuran sample yang sama adalah n
- Tata letak data
Misalkan terdapat k-sampel dengan masing-masing sample berukuran n maka banyaknya seluruh data amatan adalah nk
Notasi dan tata letak data pada k-sampel berukuran n dapat digambarkan pada tabel berikut
Perlakuan
1 2 … k
…
…
…
…
Jumlah
…
T = G
Rataan
…
- Keterangan
= data amatan ke-i pada perlakuan ke-j (sample ke-j)
= Jumlah data amatan sample ke-j
= Rataan sample ke-j
G = T = Jumlah seluruh data amatan
= rataan dari seluruh data amatan
- Model Data
Pada Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Sama, setiap data/nilai pada populasi dapat dimodelkan dalam bentuk
Misalkan rataan dari seluruh data pada k-populasi adalah , maka dapat dinyatakan sebagai
dengan
dimana
= rataan pada populasi ke-j
= deviasi dari rataan populasinya
= efek perlakuan ke-j terhadap variable terikat
- Dengan demikian, model dari nilai pada populasi adalah
dengan
= data amatan ke-i pada perlakuan ke-j
= rerata dari seluruh data pada populasi
= efek perlakuan ke-j terhadap variable terikat
= deviasi dari rataan populasinya yang berdistribusi normal dengan rataan nol
Deviasi terhadap rataan populasi sering disebut dengan galat (error)
= 1, 2, … , n
j = 1, 2, … ,k
k = cacah populasi/cacah perlakuan/cacah klasifikasi
n = banyaknya data amatan
- Perhatikan dan selesaikanlah contoh-contoh berikut
Contoh 4
Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan P1, P2, dan P3
Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai
Perlakuan P1 P2 P3
Nilai 3, 4, 4, 5 5, 5, 3, 3 2, 4, 4, 6
Carilah nilai dan !
Nyatakan setiap nilai dengan model !
Solusi :
Langkah pertama, carilah dahulu nilai dan . Setelah diperoleh kedua nilai tersebut dapat dicari nilai
Setiap data pada populasi tersebut dapat dinyatakan dengan bentuk sebagai berikut
Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa
dan
Keadaan seperti ini dapat dikatakan bahwa …
Contoh 5
Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan K1, K2, dan K3
Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai
Perlakuan K1 K2 K3
Nilai 2, 3, 3, 4 5, 5, 3, 3 3, 5, 5, 7
Carilah nilai dan !
Nyatakan setiap nilai dengan model !
Solusi :
Contoh 6
Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan T1, T2, dan T3
Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai
Perlakuan T1 T2 T3
Nilai 3, 4, 4, 6 3, 4, 4, 5 5, 6, 7, 8
Carilah nilai dan !
Nyatakan setiap nilai dengan model !
Solusi :
Dari Contoh 4 sampai Contoh 6 dapat disimpulkan bahwa
1. Jika dan maka dapat dikatakan ….
2. Jika ketiga tidak bernilai sama dan nilai ketiga juga berbeda maka dapat diartikan ….
- Perumusan Hipotesa
Misalkan terdapat k-perlakuan. Pasangan hipotesa yang diuji pada analisis variansi satu jalan ini adalah
H0 :
H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama
Perhatikan bahwa sebab notasi itu menunjukkan bahwa dan dan dan seterusnya padahal tidak selalu demikian
Berdasarkan model data pada Analisis Variansi Univariate Satu Jalan, maka pasangan hipotesisnya dapat dirumuskan sebagai berikut
H0 :
(dapat juga ditulis untuk setiap j)
H1 : paling sedikit ada satu yang tidak nol
Atau dapat ditulis dengan
H0 : tidak ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat
H1 : ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat
Atau dapat ditulis dengan
H0 : variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variable terikat
H1 : variabel bebas berpengaruh terhadap variable terikat
Jika kata “pengaruh” digunakan, maka harus dimengerti bahwa ada atau tidaknya pengaruh ditandai oleh ada atau tidaknya perbedaan rataan pada k-populasi
Hal ini dilambangkan dengan nilai
- Prosedur Uji Analisis Variansi
Analisis Variansi pada prinsipnya mendasarkan kepada perbandingan dua estimator independen untuk variansi seluruh populasi, yaitu
Estimator-estimator ini diperoleh dari pemisahan variansi data amatan pada seluruh sample menjadi 2 komponen yaitu
1. Estimator untuk variansi antar kelompok (variances between the sample means)
2. Estimator variansi dalam kelompok (variances within k-samples)
Tentu saja estimator-estimator ini diperoleh dari variansi-variansi sample
Variansi dari seluruh data amatan pada k-sampel dan dengan ukuran data nk adalah
=
Pembilang dari ruas kanan pada formula variansi diatas disebut dengan Jumlah Kuadrat Total (Total sum of Squares) yang disingkat dengan JKT atau SST sehingga diperoleh
JKT = SST =
Dan penyebutnya merupakan Derajat Kebebasan untuk JKT
Dengan menggunakan sifat sigma diperoleh
JKT = =
Untuk selanjutnya, suku pertama ruas kanan disebut Jumlah Kuadrat Rataan Perlakuan (Treatment Sum of Squares atau Sum of Squares for Column Means), disajikan dengan JKA atau SSC dan suku keduanya disebut Jumlah Kuadrat Galat (Error Sum of Squares) yang dinotasikan dengan JKG atau SSE
Sehingga diperoleh
JKA = SSC = dan JKG = SSE =
Estimator untuk variansi antar kelompok , dengan derajat kebebasan , ditentukan oleh
Jika benar maka merupakan estimator tak bias , sebaliknya jika benar, maka JKA akan mempunyai nilai yang cenderung besar dan jauh melebihi
Estimator untuk variansi dalam kelompok dengan derajat kebebasan , ditentukan oleh
Estimator ini merupakan estimator tak bias terlepas apakah yang benar ataukah jika benar, maka rasio dan adalah
adalah nilai dari variabel random Fisher yang mempunyai distribusi F dengan derajat kebebasan (k-1) dan (nk-k)
Untuk selanjutnya disebut rataan kuadrat perlakuan (treatment mean squares) yang dinotasikan dengan RKA atau MSC dan disebut rataan kuadrat galat (error means squares) yang dinotasikan dengan RKG atau MSE.
Oleh karena itu, statistik ujinya adalah
RKA ini merupakan estimator untuk variansi antar kelompok
RKG merupakan estimator variansi gabungan (pooled variance) dari variansi – variansi populasi.
- Daerah Kritik
Karena adalah over estimates jika salah, maka daerah kritik untuk uji ini adalah
- Formula Praktis
Pada praktiknya, nilai rataan sample tidak merupakan bilangan bulat sehingga formula JKA, JKG, dan JKT seperti yang ditulis dimuka tidak mudah digunakan.
Namun demikian, sifat-sifat berikut ini dipenuhi, sehingga untuk menghitung JKT, JKA, dan JKG lebih baik digunakan formula
JKG = JKT - JKA
- Contoh 7
Untuk melihat apakah obat sakit kepala jenis A, jenis B, jenis C, jenis D, dan jenis E memberikan efek yang sama untuk menghilangkan rasa sakit kepala, obat-obat tersebut diberikan kepada kelompok yang berbeda yang masing-masing kelompok beranggotakan 5 orang yang sedang sakit kepala yang sama. Kelompok I diberi obat A, Kelompok II diberi obat B, Kelompok III diberi obat C, Kelompok IV diberi obat D, dan Kelompok V diberi obat E. Data berikut menyatakan lama waktu penyembuhan yang dicatat untuk masing-masing kelompok. Jika = 5%, apakah dapat disimpulkan bahwa kelima jenis obat sakit kepala tersebut memberikan efek yang sama? Diasumsikan semua persyaratan uji analisis variansi dipenuhi
Lama Waktu Hilangnya Rasa Sakit pada Lima Jenis Obat
Jenis Obat Sakit Kepala
A B C D E
5 9 3 2 7
4 7 5 3 6
8 8 2 4 9
6 6 3 1 4
3 9 7 4 7
Solusi :
Langkah pertama akan dicari nilai total dan rataan dari masing-masing sel dan diperoleh
Jenis Obat Sakit Kepala
A B C D E
5 9 3 2 7
4 7 5 3 6
8 8 2 4 9
6 6 3 1 4
3 9 7 4 7
Total = 26
= 39
= 20
= 14
= 33
G = T = 132
Rataan = 5,2
= 7,8
= 4,0
= 2,8
= 6,6
= 5,28
Uji Hipotesa :
1. Perumusan Hipotesa
H0 :
H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama
2. Taraf Signifikansi = 5%
3. Statistik Uji yang digunakan
4. Komputasi
JKT = = 834 – 696,960 = 137,040
JKA = = 79,440
JKG = 57,6
RKA = = 19,860
RKG = = 2,88
Rangkuman Analisis Variansi dari Contoh 7
Sumber Variasi Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan Rataan Kuadrat Nilai F amatan
Perlakuan 79,440 4 19,860 6,90
Galat 57,600 20 2,880
Total 137,040 24
5. Daerah Kritik
= 2,87
DK = {F|F>2,87}
DK
6. Keputusan Uji : H0 ditolak
7. Kesimpulan : Kelima obat sakit kepala tersebut tidak memberikan efek yang sama dalam menghilangkan rasa saki
TUGAS I
1. Data berikut adalah data populasi untuk memodelkan uji statistik dengan menggunakan analisis variansi dengan model
A B C D
6,7,8 8,8,8 8,9,11 2,3,4
a) Carilah semua nilai dari yang dapat ditarik dari data tersebut
b) Nyatakan setiap dalam dan !
c) Apakah untuk setiap i berlaku = 0?
d) Apakah variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat?
2. Seperti Soal no 1, untuk pada populasi berikut ini
A B C D
6,7,8 7,7,7 4,7,10 2,9,10
3. Untuk melihat apakah ada perubahan antara 3 metode pembelajaran A, B, dan C, ketiga metode pembelajaran tadi diberikan kepada tiga kelas yang kondisi awalnya sama. Metode pembelajaran A diberikan kepada Kelas IA, Metode pembelajaran B diberikan kepada Kelas IB, dan Metode pembelajaran C diberikan kepada Kelas IC. Untuk kepentingan analisi data, diambil secara random sejumlah siswa dan datanya adalah sebagai berikut
Kelas IA : 2, 4, 3, 5, 4
Kelas IB : 8, 7, 8, 9, 8
Kelas IC : 5, 6, 5, 6, 7
Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi dan uji analisis variansi dilakukan pada tingkat signifikansi 1% dan 5%
a) Apakah ada perbedaan kinerja dari ketiga metode tersebut?
b) Apakah variabel bebas mempunyai pengaruh yang sama terhadap variabel terikat?
4. Seperti soal no 3, untuk data berikut dan untuk taraf signifikansi 5% dan 10%
Kelas IA : 7, 6, 4, 3, 2, 5, 6, 7, 4, 7
Kelas IB : 8, 9, 5, 4, 6, 7, 2, 4, 7, 9
Kelas IC : 6, 4, 7, 8, 5, 8, 2, 4, 5, 6
5. Seperti soal no 3, tetapi untuk 4 metode untuk data berikut dan untuk taraf signifikansi 5%
Kelas IA : 7, 3, 6, 7, 8, 3, 2, 6, 8, 4
Kelas IB : 4, 7, 5, 8, 9, 4, 8, 7, 5, 2
Kelas IC : 5, 8, 7, 8, 2, 3, 5, 6, 4, 6
Kelas ID : 5, 8, 9, 2, 3, 6, 4, 8, 7, 8
ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN DENGAN SEL YANG BERBEDA
• Jika Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan sel yang sama, ukuran masing-masing sample sama, yaitu n, maka pada analisis variansi dengan sel tak sama, ukuran masing-masing sel tidak harus sama. Jadi, pada sample ke-1, ukuran sampelnya ialah n1; pada sample ke-2, ukuran sampelnya alah n2,…., pada sample ke-k, ukuran sampelnya ialah nk
• Tujuan
Seperti pada avana satu jalan dengan sel sama, tujuan dipakainya anava satu jalan dengan sel tak sama adalah untuk melihat efek variable bebas terhadap variable terikat dengan membandingkan rataan beberapa populasi
• Syarat
Uji ini digunakan jika data amatan hasil eksperimen memenuhi persyaratan sebagai berikut
i. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi
ii. Mempunyai satu variabel terikat
iii. Mempunyai satu variable bebas
iv. Ukuran masing-masing sample adalah berbeda
• Tata letak data
Misalnya terdapat k populasi yang akan dibandingkan rataanya, yang dengan kata lain, misalnya terdapat k kategori perlakuan. Perlakuan-perlakuan itu disajikan dengan A1, A2, … , Ak. Notasi data dari ANAVA jenis ini dapat digambarkan dalam table berikut
Tabel Tata Letak Pada Anava Satu Jalan Sel Tak Sama
A1 A2 … Ak
Data Amatan X11
X21
…
Xn11 X12
X22
…
Xn22 …
…
…
… X1k
X2k
...
Xnkk
• Model
Model untuk data populasi pada analisis variansi satu jalan dengan sel tak sama ialah:
Xij = µ + αj + εij
dengan:
Xij = data ke-i pada perlakuan ke-j;
µ = rerata dari seluruh data (rerata besar, grand mean);
αj = µj - µ = efek perlakuan ke-j pada variable terikat;
εij = deviasi data Xij terhadap rataan populasinya yang berdistribusi normal dengan rataan 0.
i = 1, 2, 3, … , nj; ; j = 1, 2, 3, …, k
k = cacah populasi (cacah perlakuan, cacah klasifikasi)
• Notasi dan Tata Letak
Karena setiap perlakuan tersebut terdiri dari data amatan yang banyaknya berbeda maka harus dicari jumlah, rataan, jumlah kuadrat, suku korelasi, dan variasi untuk masing-masing kategori perlakuan maupun keseluruhan (total) sehingga data amatan dan perhitungan yang dicari diatas dapat disajikan pada tabel berikut
Tabel Notasi dan Tata Letak Pada Anava Satu Jalan Sel Tak Sama
A1 A2 … Ak Total
Data Amatan X11
X21
….
Xn11 X12
X22
….
Xn22 …
…
…
… X1k
X2k
....
Xnkk
Cacah data n1 n2 … nk N
Jumlah data T1 T2 … Tk G
Rataan
…
Jumlah Kuadrat
…
Suku Korelasi
…
Variasi SS1 SS2 … SSk
Dari table di atas, perlu diketahui bahwa
• Hipotesis
Pasangan hipotesis yang diuji adalah:
H0 : µ1 = µ2 =…= µk
H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama
Atau
H0 : α1 = α2 = αk = 0
(dapat juga ditulis αj = 0 untuk setiap j)
H1 : Paling sedikit ada satu αj yang tidak nol
Atau
H0 : Tidak ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat
H1 : Ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat
• Komputasi
Untuk memudahkan perhitungan, didefinisikan besaran-besaran (1), (2), dan (3), sebagai berikut
(1) (2) (3)
Akan ditentukan
JKA = - = (3) – (1)
JKT = - = (2) – (1)
JKG = JKT - JKA = - - + = - = (2) – (3)
Derajat Kebebasan untuk masing-masing jumlah kuadrat itu adalah
dkA = k – 1
dkG = N – k
dkT = N – 1
Rataan Kuadratnya adalah
RKA = RKG =
• Statistik Uji
Yang merupakan nilai dari variable random yang brdistribusi F dengan derajat kebebasan k – 1 dan N – k
• Daerah Kritik
Seperti halnya pada analisis variansi satu jalan dengan sel sama, maka daerah kritik uji ini adalah:
DK = {F | F > Fα: k – 1, N – k}
• Rangkuman Analisis
Sebaiknya, hasil-hasil komputasi disajikan dalam table rangkuman analisis variansi dengan format berikut.
Tabel Rangkuman Analisis Variansi
Sumber JK dk RK Fobs Fα p
Perlakuan JKA k - 1 RKA
F* p < α atau p > α
Galat JKG N – k RKG - - -
Total JKT N - 1 - - - -
Ket : p adalah probabilitas amatan
F* adalah nilai F yang diperoleh dari table atau komputer
• Contoh 8
Untuk melihat apakah ada perbedaan efek tiga metode pembelajaran, yaitu metode A, B, C, terhadap prestasi belajar, kepada kelas 1A diberi pelajaran dengan metode A, kepada kelas 1B diberi pelajaran dengan metode B, dan kepada kelas 1C diberi pelajaran dengan metode C. Pada akhir semester, kepada mereka diberi tes yang sama. Untuk kepentingan analisis, secara random pada kelas 1A diambil 4 siswa, dari kelas 1B diambil 6 siswa, dan dari kelas 1C diambil 5 siswa. Nilai-nilai mereka adalah sebagai berikut
Metode A: 4 7 6 6
Metode B: 5 1 3 5 3 4
Metode C: 8 6 8 9 5
Jika dimbil tingkat signifikan 5% bagaimana kesimpulan penelitian tersebut? Diasumsikan semua persyaratan uji analisis variansi dipenuhi.
Solusi
1. Perumusan Hipotesa
H0 : µ1 = µ2 = µ3
H1 : paling sedikit ada dua rataan ang tidak sama
2. Taraf Signifikansi α = 5%
3. Statistic diuji yang digunakan:
4. Komputasi
Tabel Analisis Variansi
Metode Total
A B C
Data Amatan 4
7
6
6 5
1
3
5
3
4 6
8
9
5
nj 4 6 5 N = 15
Tj 23 21 36 G = 80
5.75 3.5 7.2 = 5.33
137 85 270 = 492
132.25 73.50 259.20 = 464.95
SSj 4.75 11.5 10.8 = 27.05
JKA = 38.283 JKG = 27.050 JKT = 65.333
dkA = 2 dkG = 12 dkT = 14
RKA = 19.142
RKG = 2.254
Diperoleh Fobs = 8.49
Dan diperoleh juga
Tabel Rangkuman Analisis Variansi
Sumber JK dk RK Fobs Fα p
Perlakuan 38.283 2 19.142 8.49 3.89 > 0.05
Galat 27.050 12 2.254 - - -
Total 65.333 14 - - - -
5. Daerah Kritik : DK = {F|F>3.89}
6. Keputusan Uji : Ho ditolak
7. Kesimpulan : Ketiga metode mengajar tidak memberikan efek yang sama (atau ketiga metode mengajar berpengaruh terhadap prestasi belajar)
Beberapa catatan untuk ANAVA
Dibandingkan dengan uji beda rataan dengan menggunakan statistk uji Z maupun uji student t, Analisis Variansi mempunyai keuntungan yaitu dapat dilakukannya uji beda rataan untuk beberapa populasi sekaligus. Namun, analisis variansi juga mempunyai kelemahan. Kelemahan yang pertama ialah apabila H0 ditolak, peneliti hanya mengetahui bahwa perlakuan-pelakuan yang diteliti tidak memberikan efek yang sama. Namun, peneliti belum mengetahui manakah dari perlakuan-perlakuan itu yang secara signifikan berbeda dengan yang lain. Untuk menutup kelemahan ini, perlu dilakukan uji Pasca ANAVA ( yang mudah digunakan dan paling ketat) ialah Metode Scheffe’.
Kelemahan yang kedua adalah sebagai berikut. Apabila peneliti berkeinginan untuk melihat, misalnya pada Contoh 8, manakah metode yang paling baik. Misalnya hipotesis penelitiannya (berdasar kajian teori tertentu) ialah “Metode A yang paling baik”, maka secara logis harus dipenuhi “µA > µB” dan “µA > µC”. ANAVA tidak menyediakan cara untuk menguji itu, karena H0 yang dirumuskan adalah µA = µB = µC. oleh karena itu, prosedur yang ditempuh adalah sebagai berikut. Pertama, diuji H0 nya dulu. Apabila H0 ditolak, kemudian dilakukan uji lanjut (perhatikan bahwa pada kasus ini, cacah perlakuan ada 3 buah). Apabila pada uji lanjut terdapat beda yang signifikan antara rataan populasi yang dibandingkan, maka pada rataan populasi yang terbesar menunjukkan adanya perlakuan yang lebih (misalnya lebih baik) daripada yang lain. Rataan populasi tersebut tentu saja dilihat dari estimatornya, yaitu rataan pada sample yang berkaitan. Interpretasi bahwa pada rataan populasi yang terbesar menunjukkan adanya perlakuan yang lebih biasanya dilakukan pada pembahasan hasil penlitian.
Untuk mengatasi kelemahan kedua, peneliti dapat juga melakukan uji pasca anava dengan menggunakan uji t satu ekor. Namun, peneliti perlu memulai perhitungan lagi dari awal, berbeda dengan metode Scheffe’ yang dapat memanfaatkan hasil perhitungan ANAVA (yang dalam hal ini adalah menggunakan RKG yang diperoleh dari pehitungan ANAVA).
METODE SCHEFFE’ UNTUK ANAVA SATU JALAN
Terdapat beberapa metode untuk komparasi ganda Pasca ANAVA, di antaranya Metode Scheffe’, Metode Tukey, Metode Newman-Keuls, dan Metode Duncan. Pada bagian ini hanya dibicarakan Metode Scheffe’.
Metode Scheffe’ ini dapat digunakan baik untuk analisis variansi dengan sel sama maupun untuk analisis variansi dengan sel tak sama. Metode Scheffe’ menghasilkan cacah beda rataan signifikan paling sedikit, dan sebaliknya, Metode Duncan menghasilkan cacah beda rataan yang paling banyak (Fergson 1989). Ini berarti bahwa banyaknya beda rataan pada uji lanjut sangat tergantung kepada metode komparasi ganda yang dipakai. Dapat terjadi dengan suatu metode beda rataannya signifikan, tetapi dengan metode yang lain tidak demikian halnya. Oleh karena itu, perlu dicantumkan metode mana yang dipakai dalam setiap laporan penelitian (baik dalam bentuk lengkapnya maupun dalam bentuk ringkasannya).
Langkah-langkah yang perlu ditempuh pada metode Scheffe’ ialah:
1. Identifikasikan semua pasangan komparasi rataan yang ada. Jika terdapat k perlakuan, maka ada pasangan rataan dan rumuskan hipotesis yang bersesuaian dengan komparasi tersebut.
2. Tentukan tingkat signifikan α (pada umumnya α yang dipilih sama dengan pada uji analisis variansinya).
3. Carilah nilai statistic uji F dengan menggunakan formula berikut:
dengan:
Fi-j = nilai Fobs pada pembanding perlakuan ke-i dan perlakuan ke-j;
Xi = rataan pada sample ke-i;
Xj = rataan pada sample ke-j;
RKG = rataan kuadrat galat, yang diperoleh dari perhitungan analisis variansi;
ni = ukuran sample ke-i;
nj = ukuran sample ke-j;
4. Tentukan daerah kritik dengan formula berikut:
DK = {F | F > (k-1) Fα;k-1,N-k }
5. Tentukan keputusan uji untuk masing-masing komparasi ganda.
6. Tentukan kesimpulan dari keputusan uji yang ada.
Contoh 9
Di suatu sekolah pada saat yang hampir bersamaan kedatangan tiga orang salesman dari tiga penerbit bahan belajar mandiri, yaitu Penerbit A, Penerbit B, Penerbit C. Menurut masing-masing penerbit bahan belajar terbitannya paling baik di antara bahan belajar yang ada. Tentu saja, sekolah tidak akan membeli ketiga-tiganya sekaligus, namun hanya akan membeli bahan belajar yang paling baik diantara ketiganya. Untuk memilih bahan belajar yang paling baik, kepala sekolah mengujicobakan bahan belajar tersebut kepada tiga kelompok, yaitu kelompok I, II, III. Siswa-siswa kelompok I (7 orang) diminta mempelajari bahan belajar penebit A, siswa-siswa kelompok II (9 orang) diminta untuk mempelajari bahan belajar penerbit B, dan siswa-siswa kelompok III diminta untuk mempelajari bahan belajar penerbit C. Setelah selesai mempelajari bahan tersebut, kepada mereka diberikan tes yang sama. Skor mereka adalah sebai berikut:
Kelompok I : 87 80 74 82 74 81 97
Kelompok II : 58 63 64 75 70 73 80 62 71
Kelompok III : 81 62 70 64 70 72 92 63
Jika diambil α = 5%, bagaimana kesimpulan penelitian tersebut? Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi.
Solusi:
Pertama-tama, lakukanlah ANAVA terlebih dahulu sebagai berikut :
1. Perumusan Hipotesa
H0 : µ1 = µ2 = µ3
H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama
2. Taraf Signifikan α = 5%
3. Statistik Uji
4. Komputasi
Tabel Analisis Variansi
Bahan Ajar Total
A B C
Data Amatan 87 80
74 82
74 81
97 58 63
64 75
70 73
80 62
71 81 62
70 64
70 72
92 63
nj 7 9 8 N = 24
Tj 575 616 574 G = 1765
82.14 68.44 71.75 = 73.54
47615 42568 41918 = 132101
47232.14 42161.78 41184.5 = 130578.42
SSj 382.86 406.22 733.5 = 1522.58
JKA = 777.38 JKG = 1522.58 JKT = 2299.96
dkA = 2 dkG = 21 dkT = 23
RKA = 388.69 RKG = 72.50
Diperoleh Fobs = 5.36
Dan diperoleh juga
Tabel Rangkuman Analisis Variansi
Sumber JK dk RK Fobs Fα p
Perlakuan 777.38 2 388.69 5.36 3.47 > 0.05
Galat 1522.58 21 72.50 - - -
Total 2299.96 23 - - - -
5. Daerah Kritik DK = {F|F > 3.47} ; Fobs = 5.36 DK
6. Keputusan Uji : Ho ditolak
7. Kesimpulan : Ketiga bahan belajar tersebut tidak mempunyai mutu yang sama
Setelah dalam keputusan uji Ho ditolak, maka untuk menentukan bahan belajar manakah yang paling baik, dilakukan uji komparasi ganda dengan Metode Scheffe’, sebagai berikut :
1. Komparasi rataan Ho dan H1-nya tampak pada table berikut
Komparasi Ho H1
vs
=
vs
=
vs
=
2. Taraf signifikansi : α = 5%
3. Komputasi
4. Daerah Kritik : DK = {F|F>(2)(3.47))}={F|F>6.94}
5. Keputusan Uji :
Dengan membandingkan Fobs dengan daerah kritik, tampak bahwa perbedaan yang signifikan hanyalah antara dan
6. Kesimpulan :
Bahan Ajar A sama baiknya dengan Bahan Ajar C, Bahan Ajar B sama baiknya dengan Bahan Ajar C, tetapi Bahan Ajar A lebih baik daripada Bahan Ajar B
Dari dua analisis tersebut (ANAVA dan komparasi ganda), dapat disimpulkan bahwa ketiga bahan belajar tersebut mempunyai kualitas yang berbeda. Dari ketiganya, yang paling baik adalah bahan belajar dari penerbit A, disusul dari penerbit B, dan dari penerbit C
Tugas Kelompok 1
1. Untuk melihat apakah ada perubahan antara 3 metode pembelajaran A, B, dan C, ketiga metode pembelajaran tadi diberikan kepada tiga kelas yang kondisi awalnya sama. Metode pembelajaran A diberikan kepada Kelas IA, Metode pembelajaran B diberikan kepada Kelas IB, dan Metode pembelajaran C diberikan kepada Kelas IC. Untuk kepentingan analisi data, diambil secara random sejumlah siswa dan datanya adalah sebagai berikut
Kelas IA : 2, 4, 3
Kelas IB : 8, 7, 6, 9
Kelas IC : 3, 4, 5, 6, 7
Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi dan uji analisis variansi dilakukan pada tingkat signifikansi 5%
a) Apakah ada perbedaan kinerja dari ketiga metode tersebut?
b) Apakah diperlukan uji lanjut untuk menentukan metode mana yang paling baik kinerjanya? Kalau ya, lakukanlah uji lanjut itu, dan kalau tidak, jelaskan mengapa?
c) Bagaimana kesimpulan penelitiannya?
2. Seperti No 1, untuk data berikut :
Kelas IA : 2, 4, 3, 5, 4
Kelas IB : 8, 7, 8, 9, 8
Kelas IC : 5, 6, 5, 6, 7
3. Seperti No 1, tetapi untuk 4 metode dengan data berikut:
Kelas IA : 7, 6, 4, 5, 2
Kelas IB : 8, 9, 7, 6, 5
Kelas IC : 8, 6, 3, 5
Kelas ID : 3, 2, 4, 3, 2, 1
Catatan : Metode Pembelajaran D diterapkan pada Kelas ID
F. ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE DUA JALAN
Perhatikan kembali persoalan pada Contoh 9. Ada kemungkinan, disamping melibatkan ketiga bahan belajar A, B, dan C, kepala sekolah juga melibatkan ketiga bahan belajar A, B, dan C, kepala sekolah juga melibatkan gender (pria dan wanita) dalam penelitiannya. Oleh karenanya ada 6 kelompok (sample) yang dikenai penelitiannya, yaitu
• Kelompok siswa pria yang dikenai bahan belajar A
• Kelompok siswa pria yang dikenai bahan belajar B
• Kelompok siswa pria yang dikenai bahan belajar C
• Kelompok siswa wanita yang dikenai bahan belajar A
• Kelompok siswa wanita yang dikenai bahan belajar B
• Kelompok siswa wanita yang dikenai bahan belajar C
Yang menjadi pertanyaan sekarang adalah
1. Apakah siswa-siswa wanita dan siswa-siswa pria mempunyai prestasi belajar yang sama jika belajar dengan bahan belajar mandiri?
2. Apakah ketiga bahan belajar mandiri (A, B, dan C) berkualitas sama?
3. Apakah perbedaan prestasi antara siswa – siswa pria dan siswa – siswa wanita konsisten (berlaku sama) pada tiap-tiap jenis bahan belajar?
4. Apakah perbedaan antara masing-masing jenis bahan belajar konsisten (berlaku sama) pada setiap jenis kelamin?
Dari permasalahan diatas dapat Anda lihat bahwa
• Variable terikat
• Variabel bebas
Permasalahan pertama dan kedua disebut efek utama (main effects) sedangkan permasalahan ketiga dan keempat disebut interaksi (interaction) atau kombinasi efek antara faktor bahan belajar dan faktor gender. Untuk menyelesaikan keempat permasalahan tersebut secara serentak digunakanlah analisis variansi dua jalan.
Perhatikanlah bahwa makna interaksi dalam kasus analisis variansi mungkin berbeda dengan makna interaksi dalam percakapan sehari-hari. Untuk jelasnya perhatikan uraian berikut.
Jika misalnya untuk setiap bahan belajar A, B, maupun C, rataan prestasi siswa putra secara signifikan selalu terjadi interaksi; dan secara keseluruhan (tidak dengan memperhatikan jenis bahan belajar) pastilah juga prestasi siswa putra lebih baik daripada prestasi siswa wanita.
Jika misalnya untuk bahan belajar A, prestasi siswa putra secara signifikan lebih baik daripada prestasi siswa wanita, tetapi untuk bahan beljar B dan C, prestasi siswa wanita yang secara signifikan justru lebih baik daripada prestasi siswa pria, maka terjadi interaksi. Dalam keadaan seperti ini baik atau tidaknya bahan belajar tergantung kepada jenis kelamin siswa.
Pada bagian ini akan dibicarakan Analisis Variansi Univariate Dua Jalan
Analisis Variansi Univariate Dua Jalan dibagi menjadi dua kelompok yaitu
1. Analisis Variansi Univariate Dua Jalan dengan sel sama
2. Analisis Variansi Univariate Dua Jalan dengan sel yang berbeda
ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE DUA JALAN DENGAN SEL SAMA
Tujuan
Analisis Variansi Univariate Dua Jalan (faktor) pada dasarnya merupakan perluasan dari Analisis Variansi Univariate Satu Jalan.
Tujuan dari Analisis Variansi Univariate Dua Jalan adalah
1. Untuk menguji signifikansi efek dua variabel bebas terhadap satu variabel terikat.
Kedua variabel bebas tersebut disebut faktor ”baris” (faktor A) dan faktor ”kolom” (faktor B).
2. Untuk menguji signifikansi interaksi kedua variabel bebas terhadap variabel terikat.
Pada dasarnya, pengujian pertama adalah pengujian rataan antar baris, pengujian kedua dengan pengujian rataan antar sel pada baris atau kolom yang sama.
Persyaratan Analisis
Persyaratan yang harus dipenuhi oleh analisis variansi dua jalan sama dengan persyaratan analisis variansi satu jalan, yaitu :
1. Memenuhi keempat persyaratan dalam ANAVA
2. Variabel terikatnya ada satu
3. Variabel bebasnya ada dua
Pengujian Data
Perhatikan bahwa kalau variabel ”baris” mempunyai p kategori, variabel ”kolom” mempunyai q kategori, maka ada sebanyak pq sel. Ini berarti, ditinjau menurut barisnya, ada p populasi; ditinjau dari kolomnya ada q populasi, dan ditinjau dari selnya, ada pq populasi.
Secara teoritis, p populasi (pada baris) masing-masing harus berdistribusi normal dan kesemuanya mempunyai variansi yang sama; dan q populasi (pada kolom) masing-masing harus berdistribusi normal dan mempunyai variansi yang sama. Hal yang sama berlaku untuk populasi-populasi yang berkaitan dengan sel-sel pada baris/kolom yang sama.
Untuk lebih jelasnya perhatikan kasus di mana ada dua variabel bebas, yaitu jenis kelamin dan bahan belajar.
Tabel Populasi
Bahan Belajar A Bahan Belajar B Bahan Belajar C
Pria Pria-A Pria-B Pria-C
Wanita Wanita-A Wanita-B Wanita-C
• Uji normalitas dilakukan 11 kali, yaitu menguji normalitas (prestasi belajar) untuk populasi pria, wanita, bahan belajar A, bahan belajar B, bahan belajar C, pria yang menggunakan bahan belajar A, pria yang menggunakan bahan belajar B, pria yang menggunakan bahan belajar C, wanita yang menggunakan bahan belajar A, wanita yang menggunakan bahan belajar B, dan wanita yang menggunakan bahan belajar C.
• Untuk uji homogenitas variansi, dilakukan 7 kali, yaitu menguji kesamaan variansi (prestasi belajar):
• Namun pada taktik penelitian, biasanya, peneliti cukup hanya menguji normalitas dan homogenitas variansi untuk populasi-populasi ”baris” dan ”kolom”saja, sehingga pada uji normalitas hanya dilakukan 5 kali dan uji homogenitas variansi hanya dilakukan 2 kali saja, yaitu
• untuk uji normalitas dilakukan 5 kali yaitu untuk menguji populasi pria, wanita, bahan belajar A, bahan belajar B, dan bahan belajar C
• untuk uji homogenitas dilakukan 2 kali yaitu untuk menguji kesamaan variansi prestasi belajar siswa wanita dan siswa pria
Notasi dan Tata Letak Data
Misalnya variabel A mempunyai p nilai dan variabel B mempunyai q nilai, sehingga terhadap p baris dan q kolom.
Datanya dapat disajikan dalam bentuk tabel berikut :
Tata Letak Data Sampel pada Anava Dua Jalan Sel Sama
Faktor A Faktor B
...
...
...
... ... ... ...
...
...
...
... ... ... ...
...
... ... ... ... ...
...
...
... ... ... ...
...
Selanjutnya,
= jumlah data pada baris ke-i
= jumlah data pada kolom ke-j
= jumlah data pada baris ke-i dan kolom ke-j
G = jumlah seluruh data amatan
Jumlah-jumlah dari elemen setiap sel dapat dimasukkan dalam tabel berikut
Tabel Jumlah AB
Faktor A Faktor B
...
Total
...
...
... ... ... ... ...
...
Total
...
G
Model
Model untuk data populasi pada analisis variansi dua jalan dengan sel sama ialah :
dengan :
= data (nilai) ke-k pada baris ke-i dan kolom ke-j
= rerata dari seluruh data (rerata besar, grand mean);
= = efek baris ke-i pada variabel terikat;
= = efek kolom ke-j pada variabel terikat;
=
= kombinasi efek baris ke-i dan kolom ke-j pada variabel terikat
= deviasi data terhadap rataan populasinya yang berdistribusi normal dengan rataan 0;
i = 1, 2, 3, ..., p ; p = banyaknya baris;
j = 1, 2, 3, ..., q ; q = banyaknya kolom;
k = 1, 2, 3, ..., n ; n = banyaknya data amatan pada setiap sel
Perhatikanlah bahwa pada model tersebut berlaku :
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut
Contoh 10
Diketahui data populasi seperti pada tabel berikut :
Tabel Data Populasi Menurut Faktor A dan Faktor B
A B
B1 B2 B3
A1 8, 9, 10 11, 12, 13 17, 18, 19
A2 7, 9, 11 8, 10, 12 13, 14, 15
Carilah semua
Solusi :
Tabel Kerja untuk Mencari
A B
B1 B2 B3
A1 8, 9, 10 11, 12, 13 17, 18, 19 = 13
= 9
= 12
= 18
A2 7, 9, 11 8, 10, 12 13, 14, 15 = 11
= 9
= 10
= 14
= 9
= 11
= 16
= 12
Dari Tabel diatas dapat dilihat bahwa :
Perhatikan bahwa pada Contoh diatas, tidak semua bernilai nol, yang ini berarti bahwa A1 dan A2 memberikan efek yang berbeda terhadap variabel terikat. Tampak juga bahwa tidak semua bernilai nol, yang ini juga berarti bahwa B1, B2, dan B3 memberikan efek yang berbeda juga.
Untuk , tampak bahwa tidak semua bernilai nol, yang ini berarti terdapat interaksi antara variabel A dan variabel B terhadap variabel terikat. Terdapatnya interaksi ini dapat dilihat dari kenyataaan bahwa A1 dan A2 memberikan efek yang sama pada kategori B1, tetapi tidak demikian halnya pada kategori B2 dan B3. Artinya, pengaruh variabel A terhadap variabel terikat tergantung kepada kategori (tingkatan) variabel B.
Contoh 11
Diketahui data populasi seperti pada tabel berikut :
A B
B1 B2 B3
A1 8, 9, 10 4, 5, 6 1, 1, 1
A2 10, 11, 12 6, 7, 8 2, 3, 4
Carilah semua
Solusi :
Tabel Kerja untuk Mencari
A B
B1 B2 B3
A1 8, 9, 10 4, 5, 6 1, 1, 1 = 5
= 9
= 5
= 1
A2 10, 11, 12 6, 7, 8 2, 3, 4 = 7
= 11
= 7
= 3
= 10
= 6
= 2
= 6
Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa :
Perhatikanlah bahwa tidak semua bernilai nol, yang berarti bahwa A1 dan A2 memberikan efek yang berbeda terhadap variabel terikat. Tampak juga bahwa tidak semua bernilai nol, yang juga berarti bahwa B1, B2, dan B3 memberikan efek yang berbeda juga. Untuk , tampak bahwa semua bernilai nol, yang berarti tidak terdapat interaksi antar variabel A dan variabel B terhadap variabel terikat. Tidak terdapatnya interaksi ini dapat dilihat dari kenyataan bahwa pengaruh variabel A terhadap variabel terikat tidak tergantung kepada kategori variabel B. Artinya, pada B1 berlaku , pada B2 juga berlaku , dan pada B3 juga berlaku . Pada sisi lain, pengaruh variabel B terhadap variabel terikat juga tidak tergantung kepada kategori variabel A.
Tugas Individu 2
1. Data berikut adalah data populasi untuk memodelkan uji statistik dengan menggunakan Analisis Variansi dengan model
A B
B1 B2 B3 B4
A1 6, 7, 8 8, 8, 8 8, 10, 12 2, 3, 3
A2 8, 9, 10 6, 8, 10 5, 6, 7 12, 13, 14
a. Carilah semua nilai dari yang dapat ditarik dari data tersebut
b. Nyatakan setiap dalam
c. Apakah untuk setiap i berlaku = 0?
d. Apakah untuk setiap j berlaku = 0?
e. Apakah untuk setiap i dan j berlaku = 0?
f. Apakah terdapat perbedaan efek antar baris?
g. Apakah terdapat perbedaan efek antar kolom?
h. Apakah terdapat interaksi antara A dan B?
2. Seperti soal Nomor 1 untuk data populasi berikut
A B
B1 B2 B3 B4
A1 6, 7, 8 8, 8, 8 2, 3, 4 2, 5, 8
A2 8, 9, 10 6, 10, 14 5, 5, 5 7, 7, 7
3. Seperti soal Nomor 1 untuk data populasi berikut
A B
B1 B2 B3 B4
A1 6, 7, 8, 9, 10, 12 8, 8, 8, 7, 8, 9 8, 10, 12, 15, 14 2, 3, 3, 4, 6, 10
A2 8, 9, 10, 6, 5, 7 6, 8, 10, 4, 12, 14 5, 6, 7, 8, 9, 10 12, 13, 14, 8, 8, 7
Perhitungan dan pengujian hipotesa pada Analisis Variansi Univariate Dua Jalan dengan Sel Sama sebagai berikut
Perumusan Hipotesis
Seperti yang dibicarakan di muka, ada tiga pasang hipotesis yang dapat diujii dengan analisis variansi dua jalan ini. Tiga pasang tersebut ialah :
: untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., p
: paling sedikit ada satu yang tidak nol
: untuk setiap j = 1, 2, 3, ..., p
: paling sedikit ada satu yang tidak nol
: untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., p dan j = 1, 2, 3, ..., p
: paling sedikit ada satu yang tidak nol
Ketiga pasang hipotesis ini ekuivalen dengan tiga pasang hipotesis berikut ini :
: Tidak ada perbedaan efek antar baris terhadap variabel terikat;
: Ada perbedaan efek antar baris terhadap variabel terikat
: Tidak ada perbedaan efek antar kolom terhadap variabel terikat;
: Ada beberapa efek antar kolom terhadap variabel terikat
: Tidak ada interaksi baris dan kolom terhadap variabel terikat;
: Ada interaksi baris dan kolom terhadap variabel terikat.
Perhatikanlah bahwa kalimat ”ada perbedaan efek antar baris terhadap variabel terikat” sering dinyatakan dengan kalimat lain, yaitu bahwa ”variabel A berpengaruh terhadap variabel terikat”, jika kategori-kategori variabel A dinyatakan dalam baris-baris.
Komputasi
Seperti pada analisis variansi satu jalan, untuk memudahkan perhitungan, didefinisikan besaran-besaran (1), (2), (3), (4), dan (5) sebagai berikut :
Terdapat lima jumlah kuadrat pada analisis variansi dua jalan, yaitu jumlah kuadrat baris (JKA), jumlah kuadrat kolom (JKB), jumlah kuadrat interaksi (JKAB), jumlah kuadrat galat (JKG), dan jumlah kuadrat total (JKT). Berdasarkan sifat-sifat matematis tertentu dapat diturunkan formula-formula untuk JKA, JKB, JKAB, JKG, JKT dan sebagainya.
JKA = (3) – (1) = -
JKB = (4) – (1) = -
JKAB = (1) + (5) – (3) – (4) = + - -
JKG = (2) – (5) = -
JKT = (2) – (1) = - (atau JKT = JKA + JKB + JKAB + JKG)
Derajat kebebasan untuk masing-masing jumlah kuadrat tersebut adalah :
dkA = p – 1
dkB = q – 1
dkAB = (p – 1)(q – 1)
dkG = pq(n – 1) = N – pq
dkT = N – 1
Berdasarkan jumlah kuadrat dan derajat kebebasan masing-masing, diperoleh rataan kuadrat berikut :
Statistik Uji
Statistik uji analisis variansi dua jalan dengan sel sama ini ialah :
1. Untuk adalah yang meruupakan nilai dari variabel random yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan p-1 dan N-pq;
2. untuk adalah yang merupakan nilai dari variabel random yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan p-1 dan N-pq;
3. untuk adalah yang merupakan nilai dari variabel random yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan (p-1)(q-1) dan N-pq.
Daerah Kritik
Untuk masing-masing nilai F diatas, daerah kritiknya adalah sebagai berikut :
1. Daerah kritik untuk adalah
2. Daerah kritik untuk adalah
3. Daerah kritik untuk adalah
Rangkuman Analisis
Sebaiknya, hasil-hasil komputasi disajikan dalam tabel rangkuman analisis variansi dengan format berikut :
Rangkuman Analisis Variansi Dua Jalan
Sumber JK dk RK
p
Baris (A) JKA p-1 RKA
F*
Kolom (B) JKB q-1 RKB
F*
Interaksi (AB) JKAB (p-1)(q-1) RKAB
F*
Galat JKG N-pq RKG - - -
Total JKT N-1 - - - -
Keterangan : p adalah probabilitas amatan; F* adalah nilai F yang diperoleh dari tabel
Contoh 12
Seorang peneliti ingin melihat manakah strategi pembelajaran yang paling efektif di antara strategi pembelajaran A, B, dan C, dengan pengertian strategi pembelajaran yang satu lebih efektif dibanding dengan strategi pembelajaran lainnya apabila strategi yang pertama menghasilkan rataan prestasi belajar yang lebih baik daripada rataan prestasi belajar yang dihasilkan oleh strategi yang kedua. Peneliti tersebut juga ingin melihat manakah yang lebih baik, prestasi belajar siswa-siswa pria ataukah prestasi belajar siswa-siswa wanita dan sekaligus juga ingin melihat apakah terdapat perbedaan prestasi antara siswa-siswa pria dan siswa-siswa wanita pada tiap-tiap strategi pembelajaran. Setelah dilakukan eksperimen dan diambil sampel yang representatif terhadap populasinya, datanya adalah sebagai berikut :
Prestasi Belajar Siswa Menurut Seks dan Strategi Mengajar
Jenis Kelamin Strategi mengajar
A B C
Pria 4 7 5 2 3 2 5 6 4
Wanita 9 8 8 8 7 5 10 8 7
Jika diambil tingkat signifikansi 5%, bagaimana kesimpulan penelitian tersebut? Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi.
Solusi:
Dilakukan analisis variansi dulu untuk melihat apakah terdapat efek utama pada baris dan kolom serta efek interaksi.
1. Perumusan Hipotesa
(a) : untuk setiap i = 1, 2
: paling sedikit ada satu yang tidak nol
(b) : untuk setiap i = 1, 2, 3
(c) : paling sedikit ada satu yang tidak nol
: untuk setiap i = 1, 2 dan j = 1, 2, 3
: paling sedikit ada satu yang tidak nol
2.
3. Komputasi :
Jumlah AB
A B C D
Pria 16 7 15 38 (A1)
Wanita 25 20 25 70 (A2)
41 (B1) 27 (B2) 40 (B3) 108 (G)
JKA = 56.889 dkA = 1 RKA = 56.889 Fa = 39.40
JKB = 20.333 dkB = 2 RKB = 10.167 Fb = 7.04
JKAB = 1.445 dkAB = 2 RKAB = 0.723 Fab = 0.50
JKG = 17.333 dkG = 12 RKG = 1.444
JKT = 96 dkT = 17
Untuk Fa adalah DK = {F|F>F0.05;1;12} = { F|F>4.75}
Untuk Fb adalah DK = {F|F>F0.05;2;12} = { F|F>3.89}
Untuk Fab adalah DK = {F|F>F0.05;2;12} = { F|F>3.89}
Tabel Rangkuman Analisis Dua Jalan
Sumber JK dk RK Fobs F
p
Jenis Kelamin (A)
Strategi Mengajar (B)
Interaksi (AB)
Galat 56.889
20.333
1.445
17.333 1
2
2
12 56.889
10.167
0.723
1.444 39.40
7.04
0.50
- 4.75
3.89
3.89
- < 0.05
< 0.05
> 0.05
-
Total 96.000 17 - - - -
4. Keputusan Uji
H0A ditolak ; H0B ditolak ; H0AB diterima
5. Kesimpulan
a. Siswa-siswa pria dan siswa-siswa wanita mempunyai prestasi belajar yang berbeda
b. Ketiga strategi mengajar tidak memberikan efek yang sama terhadap prestasi belajar
c. Tidak ada interaksi antara jenis kelamin dan strategi mengajar terhadap prestasi belajar
Perhatikan Contoh 12 diatas, perlukah dilakukan uji pasca ANAVA?
Sebelum membahas uji pasca ANAVA untuk Contoh 12 diatas, pahamilah lebih dahulu teroi uji pasca ANAVA untuk Analisis Variansi Univariate 2 Jalur sebagai berikut:
METODE SCHEFFE’ UNTUK ANAVA DUA JALAN
Langkah-langkah komparasi ganda dengan metode Scheffe’ untuk analisis variansi dua jalan pada dasarnya sama dengan langkah-langkah pada komparasi ganda untuk analisis variansi satu jalan. Bedanya ialah pada analisis variansi dua jalan terdapat empat macam komparasi, yaitu komparasi ganda rataan antara :
(1) baris ke-i dan baris ke-j,
(2) kolom ke-i dan kolom ke-j,
(3) sel ij dan sel kj (sel-sel pada kolom ke-j), dan
(4) komparasi ganda antara sel pada baris dan kolom yang tidak sama.
Komparasi Rataan Antar Baris
Uji Scheffe untuk komparasi rataan antar baris adalah :
dengan
= nilai pada pembandingan baris ke-i dan baris ke-j
= rataan pada baris ke-i
= rataan pada baris ke-j
RKG = rataan kuadrat galat yang diperoleh dari perhitungan analisis variansi
= ukuran sampel baris ke-i
= ukuran sampel baris ke-j
Daerah kritik untuk uji itu ialah:
Komparasi Rataan Antar Kolom
Uji Scheffe’ untuk komparasi rataan antar kolom adalah :
dengan daerah kritik :
Makna dari lambang-lambang pada komparasi ganda rataan antar kolom ini mirip dengan makna lambang-lambang komparasi ganda rataan antar baris; hanya dengan mengganti baris menjadi kolom.
Komparasi Rataan Antar Sel Pada Kolom yang Sama
Uji Scheffe’ untuk komparasi rataan antar sel pada kolom yang sama adalah sebagai berikut :
dengan :
= nilai pada pembandingan rataan pada sel ke - ij dan rataan pada sel ke - kj
= rataan pada sel ke - ij
= rataan pada sel ke - kj
RKG = rataan kuadrat galat, yang diperoleh dari perhitungan analisis variansi
= ukuran sel ke - ij
= ukuran sel ke - kj
Daerah kritik untuk uji itu ialah :
Komparasi Rataan Antar Sel Pada Baris yang sama
Uji Scheffe’ untuk komparasi rataan antar sel pada baris yang sama adalah sebagai berikut :
Daerah kritik untuk uji itu ialah :
Untuk mendiskusikan hal itu lebih mendalam lagi, perhatikan lebih dahulu tabel rataan, yang diperoleh dari perhitungan pada Contoh 12 diatas
Rataan masing-masing Sel dari Data pada Conoth 12
Jenis Kelamin Strategi Mengajar Rataan Marginal
A B C
Pria 5.3 2.3 5.0 4.2
Wanita 8.3 6.7 8.3 7.8
Rataan Marginal 6.8 4.5 6.7
Perhatikanlah bahwa H0A ditolak. Ini berarti bahwa siswa pria dan wanita berbeda prestasi belajarnya. Dalam kasus ini, karena variable jenis kelamin hanya mempunyai 2 nilai (yaitu pria dan wanita), maka untuk antar baris untuk antar baris tidak diperlukan komparasi Pasca ANAVA. Kalaupun dilakukan komparasi ganda antara rataan siswa-siswa pria dan rataan siswa-siswa wanita dapat dipastikan bahwa hipotesis nolnya juga akan ditolak. Komparasi itu menjadi tidak berguna, karena ANAVA telah menunjukkan bahwa H0A ditolak. Dari rataan marginalnya, yang menunjukkan bahwa rataan siswa-siswa wanita lebih tinggi daripada rataan siswa-siswa pria dapat disimpulkan bahwa siswa-siswa wanita lebih baik prestasi belajarnya dibandingkan dengan siswa-siswa pria. Perhatikanlah bahwa penyimpulan (dengan melihat rataannya) itu dilakukan setelah secara statistik disimpulkan bahwa siswa pria dan wanita berbeda prestasi belajarnya.
Bagaimanakah dengan komparasi ganda Pasca ANAVA antar kolom?
Karena H0A ditolak, maka ini berarti tidak semua strategi pembelajaran memberikan efek yang sama terhadap prestasi belajar. Dengan kata lin, pasti terdapat paling sedikit dua rataan yang tidak sama. Karena variabel strategi pembelajaran mempunyai tiga nilai (A, B, dan C) maka komparasi ganda perlu dilakukan untuk melihat manakah yang secara signifikan mempunyai rataan yang berbeda.
Setelah dicari dengan rumus Scheffe’ untuk komparasi antar kolom diperoleh
= 11.00; = 0.02; = 10.06
DK = {F|F>7.60}
Sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut :
Rataan yang diperoleh dari strategi pembelajaran A berbeda secara signifikan dengan rataan diperoleh dari strategi pembelajaran B. Karena rataan untuk strategi pembelajaran A lebih tinggi dibandingkan dengan strategi pembelajaran B, maka diperoleh kesimpulan bahwa strategi pembelajaran A lebih efektif dibandingkan dengan strategi pembelajaran B.
Dengan pemikiran yang sama dapat disimpulkan bahwa strategi pembelajaran A sama efektifnya dengan strategi pembelajaran C dan strategi pembelajaran C lebih efektif dibandingkan dengan strategi pembelajaran B.
Perlukah dilakukan uji komparasi ganda antar sel (pada baris yang sama atau kolom yang sama)?
Perhatikanlah bahwa H0AB diterima, berarti tidak terdapat interaksi antara variabel jenis kelamin dan strategi pembelajaran terhadap prestasi belajar. Dari kenyataan bahwa tidak terdapat interaksi itu, dapat disimpulkan bahwa karakteristik perbedaan antara siswa pria dan siswa wanita untuk setiap strategi pembelajaran sama. Karakteristik tersebut tentu saja sama dengan karakteristik marginal perbedaan jenis kelamin. Perhatikanlah bahwa secara marginal (secara umum, dilihat dari rataan marginal), siswa wanita lebih baik dibandingkan dengan siswa pria. Karena tidak ada interaksi, maka hal tersebut berlaku juga pada kelompok siswa yang diberi pelajaran dengan strategi A; dalam arti pada strategi pembelajaran A, siswa wanita juga lebih pandai daripada siswa pria. Demikian pula halnya kalau hanya diperhatikan strategi pembelajaran B atau strategi pembelajaran C saja.
Bagaimana kalau ditinjau perbandingan anatar sel pada baris yang sama?
Karena interaksi tidak tidak ada, maka karakteristik perbedaan strategi pembelajaran akan sama pada setiap jenis kelamin dan akan sama pula dengan karakteristik marginalnya. Artinya, kalau secara marginal (secara umum) strategi pembelajaran A dan strategi pembelajaran C sama efektifnya, maka kalau ditinjau pada siswa pria saja, juga akan berlaku kesimpulan strategi A sama efektifnya dengan strategi pembelajaran C. Demikian pula, kalau ditinjau pada siswa wanita saja, maka strategi pembelajaran A juga akan sama efektifnya dengan strategi pembelajaran C.
Jadi, kalau interaksi antara variabel bebas tidak ada, maka tidak perlu dilakukan uji lanjut antar sel pada kolom/baris yang sama. Kesimpulan pembandingan rataan antar sel mengacu kepada kesimpulan pembandingan rataan marginalnya.
Kesimpulan penelitian
Berdasarkan analisis variansi dan uji lanjut setelah analisis variansi, kesimpulan penelitian untuk Contoh 12 diatas adalah
1. Siswa wanita lebih baik prestasinya dibandingkan dengan siswa pria, baik secara umum maupun jika ditinjau pada masing-masing strategi pembelajaran
2. Strategi pembelajaran A lebih efektif dibandingkan dengan strategi pembelajaran B, strategi pembelajaran C lebih efektif dibandingkan dengan strategi pembelajaran B, dan strategi pembelajaran A sama efektifnya dengan strategi pembelajaran C; baik secara umum maupun kalau ditinjau dari masing-masing jenis kelamin
Perhatikan bahwa pada kesimpulan penelitian tersebut, kata interaksi tidak muncul, namun esensi interaksi tersebut secara implisit telah tertuang pada kesimpulan tersebut.
Profil Efek Bersama (Interaksi)
Secara grafis, tidak adanya interaksi antara jenis kelamin dan strategi pembelajaran pada Contoh 12 dapat dilihat pada gambar berikut
Gambar Profil Efek Variabel Jenis Kelamin
Pada gambar itu, profil siswa-siswa wanita dan profil siswa-siswa pria tidak berpotongan. Dari profil itu dapat juga dilihat bahwa rataan untuk siswa-siswa wanita selalu lebih tinggi dibandingkan dengan rataan untuk siswa-siswa pria, baik pada strategi pembelajaran A, atau B, maupun C
Ada atau tidaknya interaksi dapat diduga dari grafik profil variable-variabel bebasnya. Jika profil variable bebas pertama dan profil variable bebas kedua tidak berpotongan, maka kecenderungannya tidak ada interaksi diantara mereka. Sebaliknya, jika profil variable bebas pertama berpotongan dengan profil variable bebas kedua, maka kecenderungannya ada interaksi diantara keduanya. Namun, ada atau tidaknya interaksi (yang signifikan) tetap saja harus dilihat dari signifikansi interaksi pada analisis variansinya.
Contoh 13
Seorang peneliti ingin melihat mana yang lebih baik, metode ceramah atau metode kerja kelompok, dalam menyampaikan pokok bahasan Persamaan Kuadrat. Dia ingin juga melihat apakah siswa pria dan wanita sama kemampuannya dalam hal menangkap pokok bahasan tersebut dan juga ingin melihat apakah terjadi perbedaan prestasi belajar antara siswa pria dan wanita pada setiap metode pembelajaran. Setelah pokok bahasan Persamaan Kuadrat diberikan dan diberi tes yang sama, nilai-nilai yang diperoleh tampak pada tabel berikut
Tabel Nilai Siswa Pada Pokok Bahasan Persamaan Kuadrat
Jenis Kelamin Metode Mengajar
Ceramah Kerja Kelompok
Pria 4 5 6 8 10
3 5 6 8 7 5 5 7 8 9
4 5 6 7 8
Wanita 7 5 7 8 9
3 4 8 6 9 4 5 3 4 9
3 5 6 8 7
Jika diambil tingkat signifikansi 5%, bagaimana kesimpulan penelitian tersebut?
Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi
Solusi
Uji ANAVA Dua Jalan
1. Perumusan Hipotesa
(a) : untuk setiap i = 1, 2
: paling sedikit ada satu yang tidak nol
(b) : untuk setiap i = 1, 2, 3
(c) : paling sedikit ada satu yang tidak nol
: untuk setiap i = 1, 2 dan j = 1, 2, 3
: paling sedikit ada satu yang tidak nol
2. Taraf signifikansi
3. Statistik yang digunakan :
4. Komputasi :
Jumlah AB
Metode Mengajar Total
Ceramah Kerja Kelompok
Pria 62 64 126 (A1)
Wanita 66 54 120 (A2)
128 (B1) 118 (B2) 246 (G)
JKA = 0.90 dkA = 1 RKA = 0.90 Fa = 0.23
JKB = 2.50 dkB = 1 RKB = 2.50 Fb = 0.64
JKAB = 4.90 dkAB = 1 RKAB = 4.90 Fab = 1.25
JKG = 140.80 dkG = 36 RKG = 3.91
Rangkuman Analisis Variansi Dua Jalan Data pada Tabel Nilai Siswa Pada Pokok Bahasan Persamaan Kuadrat diatas adalah sebagai berikut
Rangkuman Analisis Variansi Dua Jalan
Sumber JK dk RK Fobs F
p
Jenis Kelamin (A)
Metode Mengajar (B)
Interaksi (AB)
Galat 0.90
2.50
4.90
140.80 1
1
1
36 0.90
2.50
4.90
3.91 0.23
0.64
1.25
- 4.12*
4.12*
4.12*
- > 0.05
> 0.05
> 0.05
-
Total 149.10 39 - - - -
Tabel Rataan Nilai
Metode Mengajar Rataan Marginal
Ceramah Kerja Kelompok
Pria 6.20 6.40 6.30
Wanita 6.60 5.40 6.00
Rataan Marginal 6.40 5.90
5. Daerah Kritik
Untuk Fa adalah DK = {F|F>F0.05;1;12} = { F|F>4.12}
Untuk Fb adalah DK = {F|F>F0.05;2;12} = { F|F>4.12}
Untuk Fab adalah DK = {F|F>F0.05;2;12} = { F|F>4.12}
6. Keputusan
H0A = H0B = H0AB diterima
7. Kesimpulan
Ketiga hipotesa nol diterima, berarti
(1). Tidak ada perbedaan prestasi belajar antara siswa-siswa pria dan siswa-siswa wanita
(2). Tidak ada perbedaan efek antara metode ceramah dan metode kerja kelompok
(3). Tidak ada interaksi antara jenis kelamin dan metode mengajar
Tidak adanya interaksi antara jenis kelamin dan metode pembelajaran pada Contoh 13 memberi arti bahwa, misalnya, kalau pada kelompok siswa pria saja, ceramah juga akan sama efeknya dengan kerja kelompok. Demikian juga untuk kelompok wanita, ceramah juga sama efeknya dengan kerja kelompok.
Dari sisi kolom, tidak adanya interaksi memberi arti bahwa pada ceramah, antara siswa pria dan siswa wanita tidak ada perbedaan prestasi, dan hal yang sama berlaku kalau dilihat pada metode kerja kelompok.
Perhatikan gambar grafik berikut
Gambar Profil Efek Variabel Metode Pembelajaran
Dapat dilihat pada gambar diatas, profil untuk metode ceramah berpotongan dengan profil untuk metode kerja kelompok. Namun, adanya perpotongan ini tidak berarti adanya interaksi antara variable jenis kelamin dan metode mengajar. Antara rataan sel ”Pria-Kerja Kelompok” dan rataan sel ”Wanita- Kelompok”, yang kalau dilihat sepentas berbeda, sebenarnya tidak menunjukkan perbedaan berarti (perbedaan yang signifikan). Hal ini juga dapat ditunjukkan dengan uji Sceffe’ berikut ini
Dengan
DK = {F|F>(3)F0.05;3;36} = {F|F>(3)(2.87)} = {F|F>8.61}
Sehingga Ho diterima, yang berarti atau dengan kata lain, pada metode kerja kelompok, siswa-siswa pria tidak berbeda prestasinya dibandingkan dengan siswa-siswa wanita.
Ilustrasi tersebut sekali lagi menunjukkan bahwa jika interaksi tidak ada, maka tidak perlu uji komparasi ganda antar sel setelah ANAVA
Kesimpulan Penelitian Contoh 13
1. Tidak ada perbedaan antara metode ceramah dengan metode kerja kelompok, baik secara umum maupun kalau ditinjau dari masing-masing jenis kelamin (pria dan wanita)
2. Tidak ada perbedaan prestasi antara pria dan wanita, baik secara umum maupun kalau ditinjau dari masing-masing metode mengajar (ceramah dan kerja kelompok).
Contoh 14
Seorang peneliti ingin melihat apakah metode pembelajaran 9yang dalam hal ini adalah metode ceramah dan metode diskusi) berpengaruh terhadap prestasi belajar. Kecuali juga ingin dilihat apakah siswa-siswa yang mempunyai kategori IQ yang berbeda (tinggi, sedang, dan rendah) mempunyai prestasi belajar yang berbeda pula. Setelah eksperimen selesai, dari populasinya secara random diambil masing-masing sel 4 orang seperti tampak pada tabel berikut
Tabel Prestasi Belajar Ditinjau dari IQ dan Metode Mengajar
IQ Metode Mengajar
Ceramah (C) Diskusi (D)
Tinggi (T) 7 8 9 8 8 8 8 8
Sedang (S) 5 6 7 6 9 7 8 8
Rendah (R) 3 4 5 4 4 2 3 3
Jika diambil tingkat signifikansi 5%, bagaimana kesimpulan penelitian tersebut?
Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi
Solusi.
G. ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE TIGA JALAN
Analysis of Variances (ANOVA)
Sumber : Budiyono. 2004. Statistika untuk Penelitian. Surakarta : Sebelas Maret University Press
A. PENGERTIAN
Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi?
Pada kesempatan yang lalu telah dipelajari uji hipotesa untuk membandingkan dua populasi berdasarkan uji beda rataan dan atau berdasarkan uji hubungan.
Sebelum kita memahami lebih jauh tentang Analisis Variansi, perhatikanlah contoh berikut
Contoh 1
Seorang peneliti pendidikan untuk program studi matematika ingin meneliti efektivitas dari 3 metode pembelajaran jika ditinjau dari prestasi belajar siswa. Ia telah memilih 3 metode pembelajaran, yaitu Metode Teacher Oriented, Active Learning dan Contextual Learning.
Ketiga metode tersebut diterapkan untuk 3 sampel, artinya sample pertama diterapkan Metode Pembelajaran Teacher Oriented, sample kedua diterapkan Metode Pembelajaran Active Learning, dan pada sample ketiga diterapkan Metode Pembelajaran Contextual Learning. Ketiga sample tersebut telah diyakinkan bahwa kemampuan awal yang dimiliki oleh masing-masing sample adalah relatif sama. Peneliti tersebut bertujuan untuk menguji ada atau tidaknya perbedaan efek/pengaruh beberapa perlakuan pada ketiga sample ditinjau dari prestasi belajar siswa. Untuk melihatnya, peneliti tersebut menggunakan rata-rata nilai dari masing-masing sample. Setelah beberapa waktu eksperimen, peneliti tersebut melakukan pengujian sebagai tolak ukur untuk mengetahui prestasi belajar siswa. Setelah data diperoleh, uji statistik apakah yang dapat direkomendasikan untuk dapat digunakan peneliti tersebut dalam usaha mengambil kesimpulan?
Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa terdapat tiga sample yang diambil dari populasi, satu variable bebas, yaitu model pembelajaran, dan satu variable terikat, yaitu prestasi belajar siswa. Variabel bebas ini dibagi menjadi 3 bagian yaitu model pembelajaran Teacher Oriented, Active Learning dan Contextual Learning.
Statistik uji beda rataan untuk k-populasi yaitu Analisis Variansi
Jadi dapat disimpulkan bahwa
Analisis Variansi (ANAVA) atau Analysis of Variances (ANOVA) adalah prosedur pengujian kesamaan beberapa rata-rata populasi.
Dalam Analisis Variansi, dapat dilihat variasi-variasi yang muncul karena adanya beberapa perlakuan (treatment) untuk menyimpulkan ada atau tidaknya perbedaan rataan pada k-populasi.
Ahli statistik yang mempunyai kontribusi besar dalam mengembangkan uji Analisis Variansi ini adalah Sir Ronald A. Fisher (1890 – 1962)
B. KLASIFIKASI
Pada Contoh 1 diatas dapat Anda identifikasi bahwa satu variable bebas, yaitu model pembelajaran, dan satu variable terikat, yaitu prestasi belajar siswa.
Berdasarkan banyak variable terikat-nya, Analisis Variansi diklasifikasikan menjadi dua kelompok, yaitu
1. Analisis Variansi Univariate
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat
2. Analisis Variansi Mutivatiate
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat
Berdasarkan banyaknya variable bebas-nya, Analisis Variansi Univariate dibagi menjadi tiga kelompok yaitu
1. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan satu variabel bebas
2. Analisis Variansi Univariate Dua Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan dua variabel bebas
3. Analisis Variansi Univariate Tiga Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan tiga variabel bebas
Berdasarkan banyaknya variable bebas-nya, Analisis Variansi Multivariate juga dibagi menjadi 3 bagian yaitu
1. Analisis Variansi Multivariate Satu Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan satu variabel bebas
2. Analisis Variansi Multivariate Dua Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan dua variabel bebas
3. Analisis Variansi Multivariate Tiga Jalan
Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan tiga variabel bebas
Pada bab ini, kita akan mempelajari terutama untuk Analisis Variansi Univariate
C. PERSYARATAN ANALISIS VARIANSI
Tidak semua jenis penelitian dapat dianalisia dengan Analisis Variansi, tetapi penelitian yang hanya memenuhi persyaratan Analisis Variansi.
Adapun persyaratan untuk Analisis Variansi adalah
1. Setiap sample diambil secara random dari populasinya
Dalam statistika, untuk hal pengambilan sample harus dilakukan secara random (acak) dari populasinya. Hal ini dimaksudkan agar diperoleh sample yang dapat mewakili populasinya (representative)
Tambahkan dengan teknik sampling di buku metodologi penelitian
2. Masing-masing populasi saling independen dan masing-masing data amatan saling independen di dalam kelompoknya
Dipenuhinya persyaratan ini dimaksudkan agar perlakuan yang diberikan kepada masing-masing sample independen antara satu dengan yang lainnya. Dengan kata lain antara sample satu dengan sample yang lain berdiri sendiri dan tidak ada keterkaitan/hubungan.
Misalkan dilakukan eksperimen tindakan kelas yang ditinjau dari prestasi belajar siswa. Saat dilakukan pengujian, peneliti harus menjamin bahwa antara sample yang satu dengan yang lainnya independen/tidak ada hubungan/tidak ada kerjasama sehingga data yang diperoleh merupakan data yang valid, artinya alat tes yang sudah diberikan kepada salah satu sample diusahakan jangan sampai diberikan kepada sample yang lain.
Untuk masing-masing populasi harus saling independen dan masing-masing data amatan harus saling independen di dalam kelompoknya, dalam arti bahwa kesalahan yang terjadi pada suatu data amatan harus independen dengan kesalahan yang terjadi pada data amatan yang lain.
Andaikan solusi independen antar tes dapat diselesaikan dengan memilih sample – sample yang mewakili populasi-populasi yang berbeda, maka peneliti juga harus menjamin sifat independen antar data amatan
Untuk menguji independence, dapat digunakan uji kecocokan (goodness – of – fit test).
Teorema Goodness – of – fit test
Uji kecocokan antara frekuensi amatan (observed frequencies) dan frekuensi harapan (expected frequencies) mendasarkan kepada kuantitas berikut :
Dimana nilai-nilai dari mendekati nilai-nilai dari variable random chi kuadrat
Lambang oi menyatakan frekuensi amatan dan lambang ei menyatakan frekuensi data yang diharapkan
Teorema Derajat Kebebasan untuk Uji Kecocokan
Bilangan yang menunjukkan derajat kebebasan pada uji kecocokan chi kuadrat adalah banyaknya sel dikurangi banyaknya kuantitas yang diperoleh dari data amatan yang digunakan untuk menghitung frekuensi harapan.
Pada uji ini, yang dirumuskan ialah bahwa data amatan mempunyai distribusi tertentu yang dihipotesiskan dan sebagai daerah kritiknya adalah
Dengan v = derajat kebebasan
Berdasarkan Teorema Goodness-of-Fit Test diatas dapat dilihat bahwa semakin kecil nilai-nilai menunjukkan data yang diamati semakin mendekati distribusi yang diteorikan.
3. Setiap populasi berdistribusi normal (Sifat Normalitas Populasi)
• Persyaratan normalitas populasi harus dipenuhi karena Analisis Variansi pada dasarnya adalah uji beda rataan, sama seperti uji beda rataan 2 populasi, misal uji t dan uji Z
• Sebelum dilakukan uji beda rata-rata, harus ditunjukkan bahwa sampelnya diambil dari populasi normal.
• Apabila masing-masing sample berukuran besar dan diambil dari populasi yang berukuran besar, biasanya masalah normalitas ini tidak menjadi masalah yang pelik, karena populasi yang berukuran besar cenderung berdistribusi normal.
• Terdapat 2 cara yang sering digunakan untuk uji normalitas, yaitu dengan variable random chi kuadrat (dikatakan sebagai uji secara parametrik karena menggunakan penafsir rataan dan deviasi baku) dan dengan metode Lilliefors (uji ini merupakan uji secara non-parametrik).
• Uji Normalitas dengan Chi Kuadrat
Uji kenormalan dapat dilakukan dengan menggunakan Teorema Goodness – of – fit test dan Teorema Derajat Kebebasan untuk Uji Kecocokan diatas. Pada uji ini, untuk menentukan frekuensi harapan, dilakukan tiga cuantiítas, yaitu frekuensi total, rataan, dan deviasi baku sehingga derajat kebebasannya adalah (k-3).
Untuk dapat menggunakan cara ini, datanya harus dinyatakan dalam distribuís frekuensi data bergolong. Prinsip yang dipakai dalam uji ini adalah membandingkan antara histogram data amatan dengan histogram yang kurva poligon frekuensinya mendekati distribusi normal
• Uji Normalitas dengan Metode Lilliefors
Uji normalitas dengan metode ini digunakan apabila datanya tidak dalam distribusi frekuensi bergolong. Pada metode ini, setiap data diubah menjadi bilangan baku dengan transformasi
Statistik uji untuk metode ini adalah L = dengan dan = proporsi cacah terhadap seluruh .
Sebagai daerah kritiknya : dengan n sebagai ukuran populasi
• Jika persyaratan normalitas populasi ini tidak dipenuhi, peneliti harus dapat melakukan transformasi data sedemikian hingga data yang baru memenuhi persyaratan normalitas populasi ini dan Analisis Variansi ini dapat diberlakukan pada data yang baru hasil transformasi
4. Populasi-populasi mempunyai variansi yang sama (Sifat Homogenitas Variansi Populasi)
Persyaratan ini harus dipenuhi karena didalam Analisis Variansi ini dihitung variansi gabungan (pooled varince) dari variansi-variansi kelompok
Hal ini berkaitan dengan digunakannya uji F pada Analisis Variansi, yang apabila variansi populasi tidak sama maka uji F tidak dapat digunakan
Salah satu uji homogenitas variansi untuk k-populasi adalah Uji Bartlett. Uji ini mempunyai 2 bentuk.
Uji Bartlett bentuk pertama
Langkah komputasinya adalah
1. Hitunglah masing-masing variansi dari k-populasi yaitu dari sampel yang berukuran
2. Hitung variansi gabungan yang dirumuskan oleh
3. Hitung bilangan b yang dirumuskan dengan yang merupakan nilai dari variabel random B yang mempunyai distribusi Bartlett
4. Tentukan daerah kritiknya : dengan
Uji Bartlett bentuk kedua
Statistik Uji :
dengan
= banyaknya populasi = banyaknya sampel
= banyaknya seluruh nilai (ukuran)
= banyaknya nilai (ukuran) smapel ke-j = ukuran sampel ke-j
= = derajat kebebasan untuk
= = derajat kebebasan untuk RKG
RKG = rataan kuadrat galat =
= =
CATATAN
Dalam Analisis Variansi, masing-masing kelompok yang digunakan sebagai sample dari populasinya masing-masing sehingga jika terdapat k-sampel yang diambil dari k-populasi dan setiap sample mendapat perlakuan (treatment) sendiri-sendiri maka dapat dikatakan k-sampel identik dengan k-populasi
Atau dengan kata lain,
Populasi-populasi pada Analisis Variansi merupakan sub-sub populasi dari populasi penelitian
D. PENYIMPANGAN PESYARATAN ANALISIS VARIANSI
Sejumlah penelitian telah dilakukan untuk mengetahui efek penyimpangan dari asumsi dalam Analisis Variansi. Penelitian ini menunjukkan bahwa terdapat sedikit efek/akibat bila asumsi yang mendasari Analisis Variansi tidak secara pasti memuaskan sehingga sedikit penyimpanagan dari asumsi akan mendapat sedikit perhatian pula
E. ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN
Analisis ini digunakan jika data eksperimen mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :
1. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi
2. Mempunyai satu variable terikat
3. Mempunyai satu variable bebas
Contoh 2
Seorang peneliti pendidikan ingin meneliti pengaruh waktu pengajaran ditinjau dari prestasi belajar siswa. Peneliti tersebut memilih masing-masing satu kelas untuk tiga sekolah yang telah ditentukan sebelumnya dan telah diyakinkan bahwa ketiga sekolah dan ketiga kelas tersebut mempunyai kemampuan/prestasi yang relatif sama. Dari ketiga kelas tersebut, satu kelas diajarkan matematika tiap pagi hari, satu kelas lagi diajarkan matematika tiap siang hari, dan satu kelas terakhir diajarkan matematika tiap sore hari selama waktu eksperimen.
Dari Contoh 2 dapat diidentifikasi variable bebas dan variable terikatnya yaitu
Variabel terikat :
Variabel bebas :
Jika diasumsikan bahwa keempat persyaratan dari Analisis Variansi diatas telah terpenuhi dan telah diidentifikasi variable-variabelnya, maka pada Contoh 2 diatas dapat digunakan uji
Analisis Variansi …
Contoh 3
Seperti Contoh 2 diatas, misalkan disamping diuji pengaruh waktu mengajar terhadap prestasi belajar siswa, secara serentak juga akan dilihat pengaruh ukuran kelas (besar dan kecil) terhadap prestasi belajar siswa, maka akan terdapat variable tambahan sehingga dapat diidentifikasikan variable terikat dan variable bebasnya yaitu
Variabel terikat :
Variabel bebas :
Jika diasumsikan bahwa keempat persyaratan dari Analisis Variansi diatas telah terpenuhi dan telah diidentifikasi variable-variabelnya, maka pada Contoh 3 dapat digunakan uji
Analisis Variansi …
Berdasarkan ukuran data amatan, Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dapat digolongkan menjadi 2 yaitu
1. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Sama
2. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Berbeda
ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN DENGAN SEL SAMA
- Syarat
Uji ini digunakan jika data amatan hasil eksperimen memenuhi persyaratan sebagai berikut
i. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi
ii. Mempunyai satu variabel terikat
iii. Mempunyai satu variable bebas
iv. Ukuran masing-masing sample adalah sama
- Misalkan ukuran sample yang sama adalah n
- Tata letak data
Misalkan terdapat k-sampel dengan masing-masing sample berukuran n maka banyaknya seluruh data amatan adalah nk
Notasi dan tata letak data pada k-sampel berukuran n dapat digambarkan pada tabel berikut
Perlakuan
1 2 … k
…
…
…
…
Jumlah
…
T = G
Rataan
…
- Keterangan
= data amatan ke-i pada perlakuan ke-j (sample ke-j)
= Jumlah data amatan sample ke-j
= Rataan sample ke-j
G = T = Jumlah seluruh data amatan
= rataan dari seluruh data amatan
- Model Data
Pada Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Sama, setiap data/nilai pada populasi dapat dimodelkan dalam bentuk
Misalkan rataan dari seluruh data pada k-populasi adalah , maka dapat dinyatakan sebagai
dengan
dimana
= rataan pada populasi ke-j
= deviasi dari rataan populasinya
= efek perlakuan ke-j terhadap variable terikat
- Dengan demikian, model dari nilai pada populasi adalah
dengan
= data amatan ke-i pada perlakuan ke-j
= rerata dari seluruh data pada populasi
= efek perlakuan ke-j terhadap variable terikat
= deviasi dari rataan populasinya yang berdistribusi normal dengan rataan nol
Deviasi terhadap rataan populasi sering disebut dengan galat (error)
= 1, 2, … , n
j = 1, 2, … ,k
k = cacah populasi/cacah perlakuan/cacah klasifikasi
n = banyaknya data amatan
- Perhatikan dan selesaikanlah contoh-contoh berikut
Contoh 4
Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan P1, P2, dan P3
Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai
Perlakuan P1 P2 P3
Nilai 3, 4, 4, 5 5, 5, 3, 3 2, 4, 4, 6
Carilah nilai dan !
Nyatakan setiap nilai dengan model !
Solusi :
Langkah pertama, carilah dahulu nilai dan . Setelah diperoleh kedua nilai tersebut dapat dicari nilai
Setiap data pada populasi tersebut dapat dinyatakan dengan bentuk sebagai berikut
Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa
dan
Keadaan seperti ini dapat dikatakan bahwa …
Contoh 5
Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan K1, K2, dan K3
Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai
Perlakuan K1 K2 K3
Nilai 2, 3, 3, 4 5, 5, 3, 3 3, 5, 5, 7
Carilah nilai dan !
Nyatakan setiap nilai dengan model !
Solusi :
Contoh 6
Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan T1, T2, dan T3
Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai
Perlakuan T1 T2 T3
Nilai 3, 4, 4, 6 3, 4, 4, 5 5, 6, 7, 8
Carilah nilai dan !
Nyatakan setiap nilai dengan model !
Solusi :
Dari Contoh 4 sampai Contoh 6 dapat disimpulkan bahwa
1. Jika dan maka dapat dikatakan ….
2. Jika ketiga tidak bernilai sama dan nilai ketiga juga berbeda maka dapat diartikan ….
- Perumusan Hipotesa
Misalkan terdapat k-perlakuan. Pasangan hipotesa yang diuji pada analisis variansi satu jalan ini adalah
H0 :
H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama
Perhatikan bahwa sebab notasi itu menunjukkan bahwa dan dan dan seterusnya padahal tidak selalu demikian
Berdasarkan model data pada Analisis Variansi Univariate Satu Jalan, maka pasangan hipotesisnya dapat dirumuskan sebagai berikut
H0 :
(dapat juga ditulis untuk setiap j)
H1 : paling sedikit ada satu yang tidak nol
Atau dapat ditulis dengan
H0 : tidak ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat
H1 : ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat
Atau dapat ditulis dengan
H0 : variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variable terikat
H1 : variabel bebas berpengaruh terhadap variable terikat
Jika kata “pengaruh” digunakan, maka harus dimengerti bahwa ada atau tidaknya pengaruh ditandai oleh ada atau tidaknya perbedaan rataan pada k-populasi
Hal ini dilambangkan dengan nilai
- Prosedur Uji Analisis Variansi
Analisis Variansi pada prinsipnya mendasarkan kepada perbandingan dua estimator independen untuk variansi seluruh populasi, yaitu
Estimator-estimator ini diperoleh dari pemisahan variansi data amatan pada seluruh sample menjadi 2 komponen yaitu
1. Estimator untuk variansi antar kelompok (variances between the sample means)
2. Estimator variansi dalam kelompok (variances within k-samples)
Tentu saja estimator-estimator ini diperoleh dari variansi-variansi sample
Variansi dari seluruh data amatan pada k-sampel dan dengan ukuran data nk adalah
=
Pembilang dari ruas kanan pada formula variansi diatas disebut dengan Jumlah Kuadrat Total (Total sum of Squares) yang disingkat dengan JKT atau SST sehingga diperoleh
JKT = SST =
Dan penyebutnya merupakan Derajat Kebebasan untuk JKT
Dengan menggunakan sifat sigma diperoleh
JKT = =
Untuk selanjutnya, suku pertama ruas kanan disebut Jumlah Kuadrat Rataan Perlakuan (Treatment Sum of Squares atau Sum of Squares for Column Means), disajikan dengan JKA atau SSC dan suku keduanya disebut Jumlah Kuadrat Galat (Error Sum of Squares) yang dinotasikan dengan JKG atau SSE
Sehingga diperoleh
JKA = SSC = dan JKG = SSE =
Estimator untuk variansi antar kelompok , dengan derajat kebebasan , ditentukan oleh
Jika benar maka merupakan estimator tak bias , sebaliknya jika benar, maka JKA akan mempunyai nilai yang cenderung besar dan jauh melebihi
Estimator untuk variansi dalam kelompok dengan derajat kebebasan , ditentukan oleh
Estimator ini merupakan estimator tak bias terlepas apakah yang benar ataukah jika benar, maka rasio dan adalah
adalah nilai dari variabel random Fisher yang mempunyai distribusi F dengan derajat kebebasan (k-1) dan (nk-k)
Untuk selanjutnya disebut rataan kuadrat perlakuan (treatment mean squares) yang dinotasikan dengan RKA atau MSC dan disebut rataan kuadrat galat (error means squares) yang dinotasikan dengan RKG atau MSE.
Oleh karena itu, statistik ujinya adalah
RKA ini merupakan estimator untuk variansi antar kelompok
RKG merupakan estimator variansi gabungan (pooled variance) dari variansi – variansi populasi.
- Daerah Kritik
Karena adalah over estimates jika salah, maka daerah kritik untuk uji ini adalah
- Formula Praktis
Pada praktiknya, nilai rataan sample tidak merupakan bilangan bulat sehingga formula JKA, JKG, dan JKT seperti yang ditulis dimuka tidak mudah digunakan.
Namun demikian, sifat-sifat berikut ini dipenuhi, sehingga untuk menghitung JKT, JKA, dan JKG lebih baik digunakan formula
JKG = JKT - JKA
- Contoh 7
Untuk melihat apakah obat sakit kepala jenis A, jenis B, jenis C, jenis D, dan jenis E memberikan efek yang sama untuk menghilangkan rasa sakit kepala, obat-obat tersebut diberikan kepada kelompok yang berbeda yang masing-masing kelompok beranggotakan 5 orang yang sedang sakit kepala yang sama. Kelompok I diberi obat A, Kelompok II diberi obat B, Kelompok III diberi obat C, Kelompok IV diberi obat D, dan Kelompok V diberi obat E. Data berikut menyatakan lama waktu penyembuhan yang dicatat untuk masing-masing kelompok. Jika = 5%, apakah dapat disimpulkan bahwa kelima jenis obat sakit kepala tersebut memberikan efek yang sama? Diasumsikan semua persyaratan uji analisis variansi dipenuhi
Lama Waktu Hilangnya Rasa Sakit pada Lima Jenis Obat
Jenis Obat Sakit Kepala
A B C D E
5 9 3 2 7
4 7 5 3 6
8 8 2 4 9
6 6 3 1 4
3 9 7 4 7
Solusi :
Langkah pertama akan dicari nilai total dan rataan dari masing-masing sel dan diperoleh
Jenis Obat Sakit Kepala
A B C D E
5 9 3 2 7
4 7 5 3 6
8 8 2 4 9
6 6 3 1 4
3 9 7 4 7
Total = 26
= 39
= 20
= 14
= 33
G = T = 132
Rataan = 5,2
= 7,8
= 4,0
= 2,8
= 6,6
= 5,28
Uji Hipotesa :
1. Perumusan Hipotesa
H0 :
H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama
2. Taraf Signifikansi = 5%
3. Statistik Uji yang digunakan
4. Komputasi
JKT = = 834 – 696,960 = 137,040
JKA = = 79,440
JKG = 57,6
RKA = = 19,860
RKG = = 2,88
Rangkuman Analisis Variansi dari Contoh 7
Sumber Variasi Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan Rataan Kuadrat Nilai F amatan
Perlakuan 79,440 4 19,860 6,90
Galat 57,600 20 2,880
Total 137,040 24
5. Daerah Kritik
= 2,87
DK = {F|F>2,87}
DK
6. Keputusan Uji : H0 ditolak
7. Kesimpulan : Kelima obat sakit kepala tersebut tidak memberikan efek yang sama dalam menghilangkan rasa saki
TUGAS I
1. Data berikut adalah data populasi untuk memodelkan uji statistik dengan menggunakan analisis variansi dengan model
A B C D
6,7,8 8,8,8 8,9,11 2,3,4
a) Carilah semua nilai dari yang dapat ditarik dari data tersebut
b) Nyatakan setiap dalam dan !
c) Apakah untuk setiap i berlaku = 0?
d) Apakah variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat?
2. Seperti Soal no 1, untuk pada populasi berikut ini
A B C D
6,7,8 7,7,7 4,7,10 2,9,10
3. Untuk melihat apakah ada perubahan antara 3 metode pembelajaran A, B, dan C, ketiga metode pembelajaran tadi diberikan kepada tiga kelas yang kondisi awalnya sama. Metode pembelajaran A diberikan kepada Kelas IA, Metode pembelajaran B diberikan kepada Kelas IB, dan Metode pembelajaran C diberikan kepada Kelas IC. Untuk kepentingan analisi data, diambil secara random sejumlah siswa dan datanya adalah sebagai berikut
Kelas IA : 2, 4, 3, 5, 4
Kelas IB : 8, 7, 8, 9, 8
Kelas IC : 5, 6, 5, 6, 7
Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi dan uji analisis variansi dilakukan pada tingkat signifikansi 1% dan 5%
a) Apakah ada perbedaan kinerja dari ketiga metode tersebut?
b) Apakah variabel bebas mempunyai pengaruh yang sama terhadap variabel terikat?
4. Seperti soal no 3, untuk data berikut dan untuk taraf signifikansi 5% dan 10%
Kelas IA : 7, 6, 4, 3, 2, 5, 6, 7, 4, 7
Kelas IB : 8, 9, 5, 4, 6, 7, 2, 4, 7, 9
Kelas IC : 6, 4, 7, 8, 5, 8, 2, 4, 5, 6
5. Seperti soal no 3, tetapi untuk 4 metode untuk data berikut dan untuk taraf signifikansi 5%
Kelas IA : 7, 3, 6, 7, 8, 3, 2, 6, 8, 4
Kelas IB : 4, 7, 5, 8, 9, 4, 8, 7, 5, 2
Kelas IC : 5, 8, 7, 8, 2, 3, 5, 6, 4, 6
Kelas ID : 5, 8, 9, 2, 3, 6, 4, 8, 7, 8
ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN DENGAN SEL YANG BERBEDA
• Jika Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan sel yang sama, ukuran masing-masing sample sama, yaitu n, maka pada analisis variansi dengan sel tak sama, ukuran masing-masing sel tidak harus sama. Jadi, pada sample ke-1, ukuran sampelnya ialah n1; pada sample ke-2, ukuran sampelnya alah n2,…., pada sample ke-k, ukuran sampelnya ialah nk
• Tujuan
Seperti pada avana satu jalan dengan sel sama, tujuan dipakainya anava satu jalan dengan sel tak sama adalah untuk melihat efek variable bebas terhadap variable terikat dengan membandingkan rataan beberapa populasi
• Syarat
Uji ini digunakan jika data amatan hasil eksperimen memenuhi persyaratan sebagai berikut
i. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi
ii. Mempunyai satu variabel terikat
iii. Mempunyai satu variable bebas
iv. Ukuran masing-masing sample adalah berbeda
• Tata letak data
Misalnya terdapat k populasi yang akan dibandingkan rataanya, yang dengan kata lain, misalnya terdapat k kategori perlakuan. Perlakuan-perlakuan itu disajikan dengan A1, A2, … , Ak. Notasi data dari ANAVA jenis ini dapat digambarkan dalam table berikut
Tabel Tata Letak Pada Anava Satu Jalan Sel Tak Sama
A1 A2 … Ak
Data Amatan X11
X21
…
Xn11 X12
X22
…
Xn22 …
…
…
… X1k
X2k
...
Xnkk
• Model
Model untuk data populasi pada analisis variansi satu jalan dengan sel tak sama ialah:
Xij = µ + αj + εij
dengan:
Xij = data ke-i pada perlakuan ke-j;
µ = rerata dari seluruh data (rerata besar, grand mean);
αj = µj - µ = efek perlakuan ke-j pada variable terikat;
εij = deviasi data Xij terhadap rataan populasinya yang berdistribusi normal dengan rataan 0.
i = 1, 2, 3, … , nj; ; j = 1, 2, 3, …, k
k = cacah populasi (cacah perlakuan, cacah klasifikasi)
• Notasi dan Tata Letak
Karena setiap perlakuan tersebut terdiri dari data amatan yang banyaknya berbeda maka harus dicari jumlah, rataan, jumlah kuadrat, suku korelasi, dan variasi untuk masing-masing kategori perlakuan maupun keseluruhan (total) sehingga data amatan dan perhitungan yang dicari diatas dapat disajikan pada tabel berikut
Tabel Notasi dan Tata Letak Pada Anava Satu Jalan Sel Tak Sama
A1 A2 … Ak Total
Data Amatan X11
X21
….
Xn11 X12
X22
….
Xn22 …
…
…
… X1k
X2k
....
Xnkk
Cacah data n1 n2 … nk N
Jumlah data T1 T2 … Tk G
Rataan
…
Jumlah Kuadrat
…
Suku Korelasi
…
Variasi SS1 SS2 … SSk
Dari table di atas, perlu diketahui bahwa
• Hipotesis
Pasangan hipotesis yang diuji adalah:
H0 : µ1 = µ2 =…= µk
H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama
Atau
H0 : α1 = α2 = αk = 0
(dapat juga ditulis αj = 0 untuk setiap j)
H1 : Paling sedikit ada satu αj yang tidak nol
Atau
H0 : Tidak ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat
H1 : Ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat
• Komputasi
Untuk memudahkan perhitungan, didefinisikan besaran-besaran (1), (2), dan (3), sebagai berikut
(1) (2) (3)
Akan ditentukan
JKA = - = (3) – (1)
JKT = - = (2) – (1)
JKG = JKT - JKA = - - + = - = (2) – (3)
Derajat Kebebasan untuk masing-masing jumlah kuadrat itu adalah
dkA = k – 1
dkG = N – k
dkT = N – 1
Rataan Kuadratnya adalah
RKA = RKG =
• Statistik Uji
Yang merupakan nilai dari variable random yang brdistribusi F dengan derajat kebebasan k – 1 dan N – k
• Daerah Kritik
Seperti halnya pada analisis variansi satu jalan dengan sel sama, maka daerah kritik uji ini adalah:
DK = {F | F > Fα: k – 1, N – k}
• Rangkuman Analisis
Sebaiknya, hasil-hasil komputasi disajikan dalam table rangkuman analisis variansi dengan format berikut.
Tabel Rangkuman Analisis Variansi
Sumber JK dk RK Fobs Fα p
Perlakuan JKA k - 1 RKA
F* p < α atau p > α
Galat JKG N – k RKG - - -
Total JKT N - 1 - - - -
Ket : p adalah probabilitas amatan
F* adalah nilai F yang diperoleh dari table atau komputer
• Contoh 8
Untuk melihat apakah ada perbedaan efek tiga metode pembelajaran, yaitu metode A, B, C, terhadap prestasi belajar, kepada kelas 1A diberi pelajaran dengan metode A, kepada kelas 1B diberi pelajaran dengan metode B, dan kepada kelas 1C diberi pelajaran dengan metode C. Pada akhir semester, kepada mereka diberi tes yang sama. Untuk kepentingan analisis, secara random pada kelas 1A diambil 4 siswa, dari kelas 1B diambil 6 siswa, dan dari kelas 1C diambil 5 siswa. Nilai-nilai mereka adalah sebagai berikut
Metode A: 4 7 6 6
Metode B: 5 1 3 5 3 4
Metode C: 8 6 8 9 5
Jika dimbil tingkat signifikan 5% bagaimana kesimpulan penelitian tersebut? Diasumsikan semua persyaratan uji analisis variansi dipenuhi.
Solusi
1. Perumusan Hipotesa
H0 : µ1 = µ2 = µ3
H1 : paling sedikit ada dua rataan ang tidak sama
2. Taraf Signifikansi α = 5%
3. Statistic diuji yang digunakan:
4. Komputasi
Tabel Analisis Variansi
Metode Total
A B C
Data Amatan 4
7
6
6 5
1
3
5
3
4 6
8
9
5
nj 4 6 5 N = 15
Tj 23 21 36 G = 80
5.75 3.5 7.2 = 5.33
137 85 270 = 492
132.25 73.50 259.20 = 464.95
SSj 4.75 11.5 10.8 = 27.05
JKA = 38.283 JKG = 27.050 JKT = 65.333
dkA = 2 dkG = 12 dkT = 14
RKA = 19.142
RKG = 2.254
Diperoleh Fobs = 8.49
Dan diperoleh juga
Tabel Rangkuman Analisis Variansi
Sumber JK dk RK Fobs Fα p
Perlakuan 38.283 2 19.142 8.49 3.89 > 0.05
Galat 27.050 12 2.254 - - -
Total 65.333 14 - - - -
5. Daerah Kritik : DK = {F|F>3.89}
6. Keputusan Uji : Ho ditolak
7. Kesimpulan : Ketiga metode mengajar tidak memberikan efek yang sama (atau ketiga metode mengajar berpengaruh terhadap prestasi belajar)
Beberapa catatan untuk ANAVA
Dibandingkan dengan uji beda rataan dengan menggunakan statistk uji Z maupun uji student t, Analisis Variansi mempunyai keuntungan yaitu dapat dilakukannya uji beda rataan untuk beberapa populasi sekaligus. Namun, analisis variansi juga mempunyai kelemahan. Kelemahan yang pertama ialah apabila H0 ditolak, peneliti hanya mengetahui bahwa perlakuan-pelakuan yang diteliti tidak memberikan efek yang sama. Namun, peneliti belum mengetahui manakah dari perlakuan-perlakuan itu yang secara signifikan berbeda dengan yang lain. Untuk menutup kelemahan ini, perlu dilakukan uji Pasca ANAVA ( yang mudah digunakan dan paling ketat) ialah Metode Scheffe’.
Kelemahan yang kedua adalah sebagai berikut. Apabila peneliti berkeinginan untuk melihat, misalnya pada Contoh 8, manakah metode yang paling baik. Misalnya hipotesis penelitiannya (berdasar kajian teori tertentu) ialah “Metode A yang paling baik”, maka secara logis harus dipenuhi “µA > µB” dan “µA > µC”. ANAVA tidak menyediakan cara untuk menguji itu, karena H0 yang dirumuskan adalah µA = µB = µC. oleh karena itu, prosedur yang ditempuh adalah sebagai berikut. Pertama, diuji H0 nya dulu. Apabila H0 ditolak, kemudian dilakukan uji lanjut (perhatikan bahwa pada kasus ini, cacah perlakuan ada 3 buah). Apabila pada uji lanjut terdapat beda yang signifikan antara rataan populasi yang dibandingkan, maka pada rataan populasi yang terbesar menunjukkan adanya perlakuan yang lebih (misalnya lebih baik) daripada yang lain. Rataan populasi tersebut tentu saja dilihat dari estimatornya, yaitu rataan pada sample yang berkaitan. Interpretasi bahwa pada rataan populasi yang terbesar menunjukkan adanya perlakuan yang lebih biasanya dilakukan pada pembahasan hasil penlitian.
Untuk mengatasi kelemahan kedua, peneliti dapat juga melakukan uji pasca anava dengan menggunakan uji t satu ekor. Namun, peneliti perlu memulai perhitungan lagi dari awal, berbeda dengan metode Scheffe’ yang dapat memanfaatkan hasil perhitungan ANAVA (yang dalam hal ini adalah menggunakan RKG yang diperoleh dari pehitungan ANAVA).
METODE SCHEFFE’ UNTUK ANAVA SATU JALAN
Terdapat beberapa metode untuk komparasi ganda Pasca ANAVA, di antaranya Metode Scheffe’, Metode Tukey, Metode Newman-Keuls, dan Metode Duncan. Pada bagian ini hanya dibicarakan Metode Scheffe’.
Metode Scheffe’ ini dapat digunakan baik untuk analisis variansi dengan sel sama maupun untuk analisis variansi dengan sel tak sama. Metode Scheffe’ menghasilkan cacah beda rataan signifikan paling sedikit, dan sebaliknya, Metode Duncan menghasilkan cacah beda rataan yang paling banyak (Fergson 1989). Ini berarti bahwa banyaknya beda rataan pada uji lanjut sangat tergantung kepada metode komparasi ganda yang dipakai. Dapat terjadi dengan suatu metode beda rataannya signifikan, tetapi dengan metode yang lain tidak demikian halnya. Oleh karena itu, perlu dicantumkan metode mana yang dipakai dalam setiap laporan penelitian (baik dalam bentuk lengkapnya maupun dalam bentuk ringkasannya).
Langkah-langkah yang perlu ditempuh pada metode Scheffe’ ialah:
1. Identifikasikan semua pasangan komparasi rataan yang ada. Jika terdapat k perlakuan, maka ada pasangan rataan dan rumuskan hipotesis yang bersesuaian dengan komparasi tersebut.
2. Tentukan tingkat signifikan α (pada umumnya α yang dipilih sama dengan pada uji analisis variansinya).
3. Carilah nilai statistic uji F dengan menggunakan formula berikut:
dengan:
Fi-j = nilai Fobs pada pembanding perlakuan ke-i dan perlakuan ke-j;
Xi = rataan pada sample ke-i;
Xj = rataan pada sample ke-j;
RKG = rataan kuadrat galat, yang diperoleh dari perhitungan analisis variansi;
ni = ukuran sample ke-i;
nj = ukuran sample ke-j;
4. Tentukan daerah kritik dengan formula berikut:
DK = {F | F > (k-1) Fα;k-1,N-k }
5. Tentukan keputusan uji untuk masing-masing komparasi ganda.
6. Tentukan kesimpulan dari keputusan uji yang ada.
Contoh 9
Di suatu sekolah pada saat yang hampir bersamaan kedatangan tiga orang salesman dari tiga penerbit bahan belajar mandiri, yaitu Penerbit A, Penerbit B, Penerbit C. Menurut masing-masing penerbit bahan belajar terbitannya paling baik di antara bahan belajar yang ada. Tentu saja, sekolah tidak akan membeli ketiga-tiganya sekaligus, namun hanya akan membeli bahan belajar yang paling baik diantara ketiganya. Untuk memilih bahan belajar yang paling baik, kepala sekolah mengujicobakan bahan belajar tersebut kepada tiga kelompok, yaitu kelompok I, II, III. Siswa-siswa kelompok I (7 orang) diminta mempelajari bahan belajar penebit A, siswa-siswa kelompok II (9 orang) diminta untuk mempelajari bahan belajar penerbit B, dan siswa-siswa kelompok III diminta untuk mempelajari bahan belajar penerbit C. Setelah selesai mempelajari bahan tersebut, kepada mereka diberikan tes yang sama. Skor mereka adalah sebai berikut:
Kelompok I : 87 80 74 82 74 81 97
Kelompok II : 58 63 64 75 70 73 80 62 71
Kelompok III : 81 62 70 64 70 72 92 63
Jika diambil α = 5%, bagaimana kesimpulan penelitian tersebut? Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi.
Solusi:
Pertama-tama, lakukanlah ANAVA terlebih dahulu sebagai berikut :
1. Perumusan Hipotesa
H0 : µ1 = µ2 = µ3
H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama
2. Taraf Signifikan α = 5%
3. Statistik Uji
4. Komputasi
Tabel Analisis Variansi
Bahan Ajar Total
A B C
Data Amatan 87 80
74 82
74 81
97 58 63
64 75
70 73
80 62
71 81 62
70 64
70 72
92 63
nj 7 9 8 N = 24
Tj 575 616 574 G = 1765
82.14 68.44 71.75 = 73.54
47615 42568 41918 = 132101
47232.14 42161.78 41184.5 = 130578.42
SSj 382.86 406.22 733.5 = 1522.58
JKA = 777.38 JKG = 1522.58 JKT = 2299.96
dkA = 2 dkG = 21 dkT = 23
RKA = 388.69 RKG = 72.50
Diperoleh Fobs = 5.36
Dan diperoleh juga
Tabel Rangkuman Analisis Variansi
Sumber JK dk RK Fobs Fα p
Perlakuan 777.38 2 388.69 5.36 3.47 > 0.05
Galat 1522.58 21 72.50 - - -
Total 2299.96 23 - - - -
5. Daerah Kritik DK = {F|F > 3.47} ; Fobs = 5.36 DK
6. Keputusan Uji : Ho ditolak
7. Kesimpulan : Ketiga bahan belajar tersebut tidak mempunyai mutu yang sama
Setelah dalam keputusan uji Ho ditolak, maka untuk menentukan bahan belajar manakah yang paling baik, dilakukan uji komparasi ganda dengan Metode Scheffe’, sebagai berikut :
1. Komparasi rataan Ho dan H1-nya tampak pada table berikut
Komparasi Ho H1
vs
=
vs
=
vs
=
2. Taraf signifikansi : α = 5%
3. Komputasi
4. Daerah Kritik : DK = {F|F>(2)(3.47))}={F|F>6.94}
5. Keputusan Uji :
Dengan membandingkan Fobs dengan daerah kritik, tampak bahwa perbedaan yang signifikan hanyalah antara dan
6. Kesimpulan :
Bahan Ajar A sama baiknya dengan Bahan Ajar C, Bahan Ajar B sama baiknya dengan Bahan Ajar C, tetapi Bahan Ajar A lebih baik daripada Bahan Ajar B
Dari dua analisis tersebut (ANAVA dan komparasi ganda), dapat disimpulkan bahwa ketiga bahan belajar tersebut mempunyai kualitas yang berbeda. Dari ketiganya, yang paling baik adalah bahan belajar dari penerbit A, disusul dari penerbit B, dan dari penerbit C
Tugas Kelompok 1
1. Untuk melihat apakah ada perubahan antara 3 metode pembelajaran A, B, dan C, ketiga metode pembelajaran tadi diberikan kepada tiga kelas yang kondisi awalnya sama. Metode pembelajaran A diberikan kepada Kelas IA, Metode pembelajaran B diberikan kepada Kelas IB, dan Metode pembelajaran C diberikan kepada Kelas IC. Untuk kepentingan analisi data, diambil secara random sejumlah siswa dan datanya adalah sebagai berikut
Kelas IA : 2, 4, 3
Kelas IB : 8, 7, 6, 9
Kelas IC : 3, 4, 5, 6, 7
Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi dan uji analisis variansi dilakukan pada tingkat signifikansi 5%
a) Apakah ada perbedaan kinerja dari ketiga metode tersebut?
b) Apakah diperlukan uji lanjut untuk menentukan metode mana yang paling baik kinerjanya? Kalau ya, lakukanlah uji lanjut itu, dan kalau tidak, jelaskan mengapa?
c) Bagaimana kesimpulan penelitiannya?
2. Seperti No 1, untuk data berikut :
Kelas IA : 2, 4, 3, 5, 4
Kelas IB : 8, 7, 8, 9, 8
Kelas IC : 5, 6, 5, 6, 7
3. Seperti No 1, tetapi untuk 4 metode dengan data berikut:
Kelas IA : 7, 6, 4, 5, 2
Kelas IB : 8, 9, 7, 6, 5
Kelas IC : 8, 6, 3, 5
Kelas ID : 3, 2, 4, 3, 2, 1
Catatan : Metode Pembelajaran D diterapkan pada Kelas ID
F. ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE DUA JALAN
Perhatikan kembali persoalan pada Contoh 9. Ada kemungkinan, disamping melibatkan ketiga bahan belajar A, B, dan C, kepala sekolah juga melibatkan ketiga bahan belajar A, B, dan C, kepala sekolah juga melibatkan gender (pria dan wanita) dalam penelitiannya. Oleh karenanya ada 6 kelompok (sample) yang dikenai penelitiannya, yaitu
• Kelompok siswa pria yang dikenai bahan belajar A
• Kelompok siswa pria yang dikenai bahan belajar B
• Kelompok siswa pria yang dikenai bahan belajar C
• Kelompok siswa wanita yang dikenai bahan belajar A
• Kelompok siswa wanita yang dikenai bahan belajar B
• Kelompok siswa wanita yang dikenai bahan belajar C
Yang menjadi pertanyaan sekarang adalah
1. Apakah siswa-siswa wanita dan siswa-siswa pria mempunyai prestasi belajar yang sama jika belajar dengan bahan belajar mandiri?
2. Apakah ketiga bahan belajar mandiri (A, B, dan C) berkualitas sama?
3. Apakah perbedaan prestasi antara siswa – siswa pria dan siswa – siswa wanita konsisten (berlaku sama) pada tiap-tiap jenis bahan belajar?
4. Apakah perbedaan antara masing-masing jenis bahan belajar konsisten (berlaku sama) pada setiap jenis kelamin?
Dari permasalahan diatas dapat Anda lihat bahwa
• Variable terikat
• Variabel bebas
Permasalahan pertama dan kedua disebut efek utama (main effects) sedangkan permasalahan ketiga dan keempat disebut interaksi (interaction) atau kombinasi efek antara faktor bahan belajar dan faktor gender. Untuk menyelesaikan keempat permasalahan tersebut secara serentak digunakanlah analisis variansi dua jalan.
Perhatikanlah bahwa makna interaksi dalam kasus analisis variansi mungkin berbeda dengan makna interaksi dalam percakapan sehari-hari. Untuk jelasnya perhatikan uraian berikut.
Jika misalnya untuk setiap bahan belajar A, B, maupun C, rataan prestasi siswa putra secara signifikan selalu terjadi interaksi; dan secara keseluruhan (tidak dengan memperhatikan jenis bahan belajar) pastilah juga prestasi siswa putra lebih baik daripada prestasi siswa wanita.
Jika misalnya untuk bahan belajar A, prestasi siswa putra secara signifikan lebih baik daripada prestasi siswa wanita, tetapi untuk bahan beljar B dan C, prestasi siswa wanita yang secara signifikan justru lebih baik daripada prestasi siswa pria, maka terjadi interaksi. Dalam keadaan seperti ini baik atau tidaknya bahan belajar tergantung kepada jenis kelamin siswa.
Pada bagian ini akan dibicarakan Analisis Variansi Univariate Dua Jalan
Analisis Variansi Univariate Dua Jalan dibagi menjadi dua kelompok yaitu
1. Analisis Variansi Univariate Dua Jalan dengan sel sama
2. Analisis Variansi Univariate Dua Jalan dengan sel yang berbeda
ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE DUA JALAN DENGAN SEL SAMA
Tujuan
Analisis Variansi Univariate Dua Jalan (faktor) pada dasarnya merupakan perluasan dari Analisis Variansi Univariate Satu Jalan.
Tujuan dari Analisis Variansi Univariate Dua Jalan adalah
1. Untuk menguji signifikansi efek dua variabel bebas terhadap satu variabel terikat.
Kedua variabel bebas tersebut disebut faktor ”baris” (faktor A) dan faktor ”kolom” (faktor B).
2. Untuk menguji signifikansi interaksi kedua variabel bebas terhadap variabel terikat.
Pada dasarnya, pengujian pertama adalah pengujian rataan antar baris, pengujian kedua dengan pengujian rataan antar sel pada baris atau kolom yang sama.
Persyaratan Analisis
Persyaratan yang harus dipenuhi oleh analisis variansi dua jalan sama dengan persyaratan analisis variansi satu jalan, yaitu :
1. Memenuhi keempat persyaratan dalam ANAVA
2. Variabel terikatnya ada satu
3. Variabel bebasnya ada dua
Pengujian Data
Perhatikan bahwa kalau variabel ”baris” mempunyai p kategori, variabel ”kolom” mempunyai q kategori, maka ada sebanyak pq sel. Ini berarti, ditinjau menurut barisnya, ada p populasi; ditinjau dari kolomnya ada q populasi, dan ditinjau dari selnya, ada pq populasi.
Secara teoritis, p populasi (pada baris) masing-masing harus berdistribusi normal dan kesemuanya mempunyai variansi yang sama; dan q populasi (pada kolom) masing-masing harus berdistribusi normal dan mempunyai variansi yang sama. Hal yang sama berlaku untuk populasi-populasi yang berkaitan dengan sel-sel pada baris/kolom yang sama.
Untuk lebih jelasnya perhatikan kasus di mana ada dua variabel bebas, yaitu jenis kelamin dan bahan belajar.
Tabel Populasi
Bahan Belajar A Bahan Belajar B Bahan Belajar C
Pria Pria-A Pria-B Pria-C
Wanita Wanita-A Wanita-B Wanita-C
• Uji normalitas dilakukan 11 kali, yaitu menguji normalitas (prestasi belajar) untuk populasi pria, wanita, bahan belajar A, bahan belajar B, bahan belajar C, pria yang menggunakan bahan belajar A, pria yang menggunakan bahan belajar B, pria yang menggunakan bahan belajar C, wanita yang menggunakan bahan belajar A, wanita yang menggunakan bahan belajar B, dan wanita yang menggunakan bahan belajar C.
• Untuk uji homogenitas variansi, dilakukan 7 kali, yaitu menguji kesamaan variansi (prestasi belajar):
• Namun pada taktik penelitian, biasanya, peneliti cukup hanya menguji normalitas dan homogenitas variansi untuk populasi-populasi ”baris” dan ”kolom”saja, sehingga pada uji normalitas hanya dilakukan 5 kali dan uji homogenitas variansi hanya dilakukan 2 kali saja, yaitu
• untuk uji normalitas dilakukan 5 kali yaitu untuk menguji populasi pria, wanita, bahan belajar A, bahan belajar B, dan bahan belajar C
• untuk uji homogenitas dilakukan 2 kali yaitu untuk menguji kesamaan variansi prestasi belajar siswa wanita dan siswa pria
Notasi dan Tata Letak Data
Misalnya variabel A mempunyai p nilai dan variabel B mempunyai q nilai, sehingga terhadap p baris dan q kolom.
Datanya dapat disajikan dalam bentuk tabel berikut :
Tata Letak Data Sampel pada Anava Dua Jalan Sel Sama
Faktor A Faktor B
...
...
...
... ... ... ...
...
...
...
... ... ... ...
...
... ... ... ... ...
...
...
... ... ... ...
...
Selanjutnya,
= jumlah data pada baris ke-i
= jumlah data pada kolom ke-j
= jumlah data pada baris ke-i dan kolom ke-j
G = jumlah seluruh data amatan
Jumlah-jumlah dari elemen setiap sel dapat dimasukkan dalam tabel berikut
Tabel Jumlah AB
Faktor A Faktor B
...
Total
...
...
... ... ... ... ...
...
Total
...
G
Model
Model untuk data populasi pada analisis variansi dua jalan dengan sel sama ialah :
dengan :
= data (nilai) ke-k pada baris ke-i dan kolom ke-j
= rerata dari seluruh data (rerata besar, grand mean);
= = efek baris ke-i pada variabel terikat;
= = efek kolom ke-j pada variabel terikat;
=
= kombinasi efek baris ke-i dan kolom ke-j pada variabel terikat
= deviasi data terhadap rataan populasinya yang berdistribusi normal dengan rataan 0;
i = 1, 2, 3, ..., p ; p = banyaknya baris;
j = 1, 2, 3, ..., q ; q = banyaknya kolom;
k = 1, 2, 3, ..., n ; n = banyaknya data amatan pada setiap sel
Perhatikanlah bahwa pada model tersebut berlaku :
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut
Contoh 10
Diketahui data populasi seperti pada tabel berikut :
Tabel Data Populasi Menurut Faktor A dan Faktor B
A B
B1 B2 B3
A1 8, 9, 10 11, 12, 13 17, 18, 19
A2 7, 9, 11 8, 10, 12 13, 14, 15
Carilah semua
Solusi :
Tabel Kerja untuk Mencari
A B
B1 B2 B3
A1 8, 9, 10 11, 12, 13 17, 18, 19 = 13
= 9
= 12
= 18
A2 7, 9, 11 8, 10, 12 13, 14, 15 = 11
= 9
= 10
= 14
= 9
= 11
= 16
= 12
Dari Tabel diatas dapat dilihat bahwa :
Perhatikan bahwa pada Contoh diatas, tidak semua bernilai nol, yang ini berarti bahwa A1 dan A2 memberikan efek yang berbeda terhadap variabel terikat. Tampak juga bahwa tidak semua bernilai nol, yang ini juga berarti bahwa B1, B2, dan B3 memberikan efek yang berbeda juga.
Untuk , tampak bahwa tidak semua bernilai nol, yang ini berarti terdapat interaksi antara variabel A dan variabel B terhadap variabel terikat. Terdapatnya interaksi ini dapat dilihat dari kenyataaan bahwa A1 dan A2 memberikan efek yang sama pada kategori B1, tetapi tidak demikian halnya pada kategori B2 dan B3. Artinya, pengaruh variabel A terhadap variabel terikat tergantung kepada kategori (tingkatan) variabel B.
Contoh 11
Diketahui data populasi seperti pada tabel berikut :
A B
B1 B2 B3
A1 8, 9, 10 4, 5, 6 1, 1, 1
A2 10, 11, 12 6, 7, 8 2, 3, 4
Carilah semua
Solusi :
Tabel Kerja untuk Mencari
A B
B1 B2 B3
A1 8, 9, 10 4, 5, 6 1, 1, 1 = 5
= 9
= 5
= 1
A2 10, 11, 12 6, 7, 8 2, 3, 4 = 7
= 11
= 7
= 3
= 10
= 6
= 2
= 6
Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa :
Perhatikanlah bahwa tidak semua bernilai nol, yang berarti bahwa A1 dan A2 memberikan efek yang berbeda terhadap variabel terikat. Tampak juga bahwa tidak semua bernilai nol, yang juga berarti bahwa B1, B2, dan B3 memberikan efek yang berbeda juga. Untuk , tampak bahwa semua bernilai nol, yang berarti tidak terdapat interaksi antar variabel A dan variabel B terhadap variabel terikat. Tidak terdapatnya interaksi ini dapat dilihat dari kenyataan bahwa pengaruh variabel A terhadap variabel terikat tidak tergantung kepada kategori variabel B. Artinya, pada B1 berlaku , pada B2 juga berlaku , dan pada B3 juga berlaku . Pada sisi lain, pengaruh variabel B terhadap variabel terikat juga tidak tergantung kepada kategori variabel A.
Tugas Individu 2
1. Data berikut adalah data populasi untuk memodelkan uji statistik dengan menggunakan Analisis Variansi dengan model
A B
B1 B2 B3 B4
A1 6, 7, 8 8, 8, 8 8, 10, 12 2, 3, 3
A2 8, 9, 10 6, 8, 10 5, 6, 7 12, 13, 14
a. Carilah semua nilai dari yang dapat ditarik dari data tersebut
b. Nyatakan setiap dalam
c. Apakah untuk setiap i berlaku = 0?
d. Apakah untuk setiap j berlaku = 0?
e. Apakah untuk setiap i dan j berlaku = 0?
f. Apakah terdapat perbedaan efek antar baris?
g. Apakah terdapat perbedaan efek antar kolom?
h. Apakah terdapat interaksi antara A dan B?
2. Seperti soal Nomor 1 untuk data populasi berikut
A B
B1 B2 B3 B4
A1 6, 7, 8 8, 8, 8 2, 3, 4 2, 5, 8
A2 8, 9, 10 6, 10, 14 5, 5, 5 7, 7, 7
3. Seperti soal Nomor 1 untuk data populasi berikut
A B
B1 B2 B3 B4
A1 6, 7, 8, 9, 10, 12 8, 8, 8, 7, 8, 9 8, 10, 12, 15, 14 2, 3, 3, 4, 6, 10
A2 8, 9, 10, 6, 5, 7 6, 8, 10, 4, 12, 14 5, 6, 7, 8, 9, 10 12, 13, 14, 8, 8, 7
Perhitungan dan pengujian hipotesa pada Analisis Variansi Univariate Dua Jalan dengan Sel Sama sebagai berikut
Perumusan Hipotesis
Seperti yang dibicarakan di muka, ada tiga pasang hipotesis yang dapat diujii dengan analisis variansi dua jalan ini. Tiga pasang tersebut ialah :
: untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., p
: paling sedikit ada satu yang tidak nol
: untuk setiap j = 1, 2, 3, ..., p
: paling sedikit ada satu yang tidak nol
: untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., p dan j = 1, 2, 3, ..., p
: paling sedikit ada satu yang tidak nol
Ketiga pasang hipotesis ini ekuivalen dengan tiga pasang hipotesis berikut ini :
: Tidak ada perbedaan efek antar baris terhadap variabel terikat;
: Ada perbedaan efek antar baris terhadap variabel terikat
: Tidak ada perbedaan efek antar kolom terhadap variabel terikat;
: Ada beberapa efek antar kolom terhadap variabel terikat
: Tidak ada interaksi baris dan kolom terhadap variabel terikat;
: Ada interaksi baris dan kolom terhadap variabel terikat.
Perhatikanlah bahwa kalimat ”ada perbedaan efek antar baris terhadap variabel terikat” sering dinyatakan dengan kalimat lain, yaitu bahwa ”variabel A berpengaruh terhadap variabel terikat”, jika kategori-kategori variabel A dinyatakan dalam baris-baris.
Komputasi
Seperti pada analisis variansi satu jalan, untuk memudahkan perhitungan, didefinisikan besaran-besaran (1), (2), (3), (4), dan (5) sebagai berikut :
Terdapat lima jumlah kuadrat pada analisis variansi dua jalan, yaitu jumlah kuadrat baris (JKA), jumlah kuadrat kolom (JKB), jumlah kuadrat interaksi (JKAB), jumlah kuadrat galat (JKG), dan jumlah kuadrat total (JKT). Berdasarkan sifat-sifat matematis tertentu dapat diturunkan formula-formula untuk JKA, JKB, JKAB, JKG, JKT dan sebagainya.
JKA = (3) – (1) = -
JKB = (4) – (1) = -
JKAB = (1) + (5) – (3) – (4) = + - -
JKG = (2) – (5) = -
JKT = (2) – (1) = - (atau JKT = JKA + JKB + JKAB + JKG)
Derajat kebebasan untuk masing-masing jumlah kuadrat tersebut adalah :
dkA = p – 1
dkB = q – 1
dkAB = (p – 1)(q – 1)
dkG = pq(n – 1) = N – pq
dkT = N – 1
Berdasarkan jumlah kuadrat dan derajat kebebasan masing-masing, diperoleh rataan kuadrat berikut :
Statistik Uji
Statistik uji analisis variansi dua jalan dengan sel sama ini ialah :
1. Untuk adalah yang meruupakan nilai dari variabel random yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan p-1 dan N-pq;
2. untuk adalah yang merupakan nilai dari variabel random yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan p-1 dan N-pq;
3. untuk adalah yang merupakan nilai dari variabel random yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan (p-1)(q-1) dan N-pq.
Daerah Kritik
Untuk masing-masing nilai F diatas, daerah kritiknya adalah sebagai berikut :
1. Daerah kritik untuk adalah
2. Daerah kritik untuk adalah
3. Daerah kritik untuk adalah
Rangkuman Analisis
Sebaiknya, hasil-hasil komputasi disajikan dalam tabel rangkuman analisis variansi dengan format berikut :
Rangkuman Analisis Variansi Dua Jalan
Sumber JK dk RK
p
Baris (A) JKA p-1 RKA
F*
Kolom (B) JKB q-1 RKB
F*
Interaksi (AB) JKAB (p-1)(q-1) RKAB
F*
Galat JKG N-pq RKG - - -
Total JKT N-1 - - - -
Keterangan : p adalah probabilitas amatan; F* adalah nilai F yang diperoleh dari tabel
Contoh 12
Seorang peneliti ingin melihat manakah strategi pembelajaran yang paling efektif di antara strategi pembelajaran A, B, dan C, dengan pengertian strategi pembelajaran yang satu lebih efektif dibanding dengan strategi pembelajaran lainnya apabila strategi yang pertama menghasilkan rataan prestasi belajar yang lebih baik daripada rataan prestasi belajar yang dihasilkan oleh strategi yang kedua. Peneliti tersebut juga ingin melihat manakah yang lebih baik, prestasi belajar siswa-siswa pria ataukah prestasi belajar siswa-siswa wanita dan sekaligus juga ingin melihat apakah terdapat perbedaan prestasi antara siswa-siswa pria dan siswa-siswa wanita pada tiap-tiap strategi pembelajaran. Setelah dilakukan eksperimen dan diambil sampel yang representatif terhadap populasinya, datanya adalah sebagai berikut :
Prestasi Belajar Siswa Menurut Seks dan Strategi Mengajar
Jenis Kelamin Strategi mengajar
A B C
Pria 4 7 5 2 3 2 5 6 4
Wanita 9 8 8 8 7 5 10 8 7
Jika diambil tingkat signifikansi 5%, bagaimana kesimpulan penelitian tersebut? Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi.
Solusi:
Dilakukan analisis variansi dulu untuk melihat apakah terdapat efek utama pada baris dan kolom serta efek interaksi.
1. Perumusan Hipotesa
(a) : untuk setiap i = 1, 2
: paling sedikit ada satu yang tidak nol
(b) : untuk setiap i = 1, 2, 3
(c) : paling sedikit ada satu yang tidak nol
: untuk setiap i = 1, 2 dan j = 1, 2, 3
: paling sedikit ada satu yang tidak nol
2.
3. Komputasi :
Jumlah AB
A B C D
Pria 16 7 15 38 (A1)
Wanita 25 20 25 70 (A2)
41 (B1) 27 (B2) 40 (B3) 108 (G)
JKA = 56.889 dkA = 1 RKA = 56.889 Fa = 39.40
JKB = 20.333 dkB = 2 RKB = 10.167 Fb = 7.04
JKAB = 1.445 dkAB = 2 RKAB = 0.723 Fab = 0.50
JKG = 17.333 dkG = 12 RKG = 1.444
JKT = 96 dkT = 17
Untuk Fa adalah DK = {F|F>F0.05;1;12} = { F|F>4.75}
Untuk Fb adalah DK = {F|F>F0.05;2;12} = { F|F>3.89}
Untuk Fab adalah DK = {F|F>F0.05;2;12} = { F|F>3.89}
Tabel Rangkuman Analisis Dua Jalan
Sumber JK dk RK Fobs F
p
Jenis Kelamin (A)
Strategi Mengajar (B)
Interaksi (AB)
Galat 56.889
20.333
1.445
17.333 1
2
2
12 56.889
10.167
0.723
1.444 39.40
7.04
0.50
- 4.75
3.89
3.89
- < 0.05
< 0.05
> 0.05
-
Total 96.000 17 - - - -
4. Keputusan Uji
H0A ditolak ; H0B ditolak ; H0AB diterima
5. Kesimpulan
a. Siswa-siswa pria dan siswa-siswa wanita mempunyai prestasi belajar yang berbeda
b. Ketiga strategi mengajar tidak memberikan efek yang sama terhadap prestasi belajar
c. Tidak ada interaksi antara jenis kelamin dan strategi mengajar terhadap prestasi belajar
Perhatikan Contoh 12 diatas, perlukah dilakukan uji pasca ANAVA?
Sebelum membahas uji pasca ANAVA untuk Contoh 12 diatas, pahamilah lebih dahulu teroi uji pasca ANAVA untuk Analisis Variansi Univariate 2 Jalur sebagai berikut:
METODE SCHEFFE’ UNTUK ANAVA DUA JALAN
Langkah-langkah komparasi ganda dengan metode Scheffe’ untuk analisis variansi dua jalan pada dasarnya sama dengan langkah-langkah pada komparasi ganda untuk analisis variansi satu jalan. Bedanya ialah pada analisis variansi dua jalan terdapat empat macam komparasi, yaitu komparasi ganda rataan antara :
(1) baris ke-i dan baris ke-j,
(2) kolom ke-i dan kolom ke-j,
(3) sel ij dan sel kj (sel-sel pada kolom ke-j), dan
(4) komparasi ganda antara sel pada baris dan kolom yang tidak sama.
Komparasi Rataan Antar Baris
Uji Scheffe untuk komparasi rataan antar baris adalah :
dengan
= nilai pada pembandingan baris ke-i dan baris ke-j
= rataan pada baris ke-i
= rataan pada baris ke-j
RKG = rataan kuadrat galat yang diperoleh dari perhitungan analisis variansi
= ukuran sampel baris ke-i
= ukuran sampel baris ke-j
Daerah kritik untuk uji itu ialah:
Komparasi Rataan Antar Kolom
Uji Scheffe’ untuk komparasi rataan antar kolom adalah :
dengan daerah kritik :
Makna dari lambang-lambang pada komparasi ganda rataan antar kolom ini mirip dengan makna lambang-lambang komparasi ganda rataan antar baris; hanya dengan mengganti baris menjadi kolom.
Komparasi Rataan Antar Sel Pada Kolom yang Sama
Uji Scheffe’ untuk komparasi rataan antar sel pada kolom yang sama adalah sebagai berikut :
dengan :
= nilai pada pembandingan rataan pada sel ke - ij dan rataan pada sel ke - kj
= rataan pada sel ke - ij
= rataan pada sel ke - kj
RKG = rataan kuadrat galat, yang diperoleh dari perhitungan analisis variansi
= ukuran sel ke - ij
= ukuran sel ke - kj
Daerah kritik untuk uji itu ialah :
Komparasi Rataan Antar Sel Pada Baris yang sama
Uji Scheffe’ untuk komparasi rataan antar sel pada baris yang sama adalah sebagai berikut :
Daerah kritik untuk uji itu ialah :
Untuk mendiskusikan hal itu lebih mendalam lagi, perhatikan lebih dahulu tabel rataan, yang diperoleh dari perhitungan pada Contoh 12 diatas
Rataan masing-masing Sel dari Data pada Conoth 12
Jenis Kelamin Strategi Mengajar Rataan Marginal
A B C
Pria 5.3 2.3 5.0 4.2
Wanita 8.3 6.7 8.3 7.8
Rataan Marginal 6.8 4.5 6.7
Perhatikanlah bahwa H0A ditolak. Ini berarti bahwa siswa pria dan wanita berbeda prestasi belajarnya. Dalam kasus ini, karena variable jenis kelamin hanya mempunyai 2 nilai (yaitu pria dan wanita), maka untuk antar baris untuk antar baris tidak diperlukan komparasi Pasca ANAVA. Kalaupun dilakukan komparasi ganda antara rataan siswa-siswa pria dan rataan siswa-siswa wanita dapat dipastikan bahwa hipotesis nolnya juga akan ditolak. Komparasi itu menjadi tidak berguna, karena ANAVA telah menunjukkan bahwa H0A ditolak. Dari rataan marginalnya, yang menunjukkan bahwa rataan siswa-siswa wanita lebih tinggi daripada rataan siswa-siswa pria dapat disimpulkan bahwa siswa-siswa wanita lebih baik prestasi belajarnya dibandingkan dengan siswa-siswa pria. Perhatikanlah bahwa penyimpulan (dengan melihat rataannya) itu dilakukan setelah secara statistik disimpulkan bahwa siswa pria dan wanita berbeda prestasi belajarnya.
Bagaimanakah dengan komparasi ganda Pasca ANAVA antar kolom?
Karena H0A ditolak, maka ini berarti tidak semua strategi pembelajaran memberikan efek yang sama terhadap prestasi belajar. Dengan kata lin, pasti terdapat paling sedikit dua rataan yang tidak sama. Karena variabel strategi pembelajaran mempunyai tiga nilai (A, B, dan C) maka komparasi ganda perlu dilakukan untuk melihat manakah yang secara signifikan mempunyai rataan yang berbeda.
Setelah dicari dengan rumus Scheffe’ untuk komparasi antar kolom diperoleh
= 11.00; = 0.02; = 10.06
DK = {F|F>7.60}
Sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut :
Rataan yang diperoleh dari strategi pembelajaran A berbeda secara signifikan dengan rataan diperoleh dari strategi pembelajaran B. Karena rataan untuk strategi pembelajaran A lebih tinggi dibandingkan dengan strategi pembelajaran B, maka diperoleh kesimpulan bahwa strategi pembelajaran A lebih efektif dibandingkan dengan strategi pembelajaran B.
Dengan pemikiran yang sama dapat disimpulkan bahwa strategi pembelajaran A sama efektifnya dengan strategi pembelajaran C dan strategi pembelajaran C lebih efektif dibandingkan dengan strategi pembelajaran B.
Perlukah dilakukan uji komparasi ganda antar sel (pada baris yang sama atau kolom yang sama)?
Perhatikanlah bahwa H0AB diterima, berarti tidak terdapat interaksi antara variabel jenis kelamin dan strategi pembelajaran terhadap prestasi belajar. Dari kenyataan bahwa tidak terdapat interaksi itu, dapat disimpulkan bahwa karakteristik perbedaan antara siswa pria dan siswa wanita untuk setiap strategi pembelajaran sama. Karakteristik tersebut tentu saja sama dengan karakteristik marginal perbedaan jenis kelamin. Perhatikanlah bahwa secara marginal (secara umum, dilihat dari rataan marginal), siswa wanita lebih baik dibandingkan dengan siswa pria. Karena tidak ada interaksi, maka hal tersebut berlaku juga pada kelompok siswa yang diberi pelajaran dengan strategi A; dalam arti pada strategi pembelajaran A, siswa wanita juga lebih pandai daripada siswa pria. Demikian pula halnya kalau hanya diperhatikan strategi pembelajaran B atau strategi pembelajaran C saja.
Bagaimana kalau ditinjau perbandingan anatar sel pada baris yang sama?
Karena interaksi tidak tidak ada, maka karakteristik perbedaan strategi pembelajaran akan sama pada setiap jenis kelamin dan akan sama pula dengan karakteristik marginalnya. Artinya, kalau secara marginal (secara umum) strategi pembelajaran A dan strategi pembelajaran C sama efektifnya, maka kalau ditinjau pada siswa pria saja, juga akan berlaku kesimpulan strategi A sama efektifnya dengan strategi pembelajaran C. Demikian pula, kalau ditinjau pada siswa wanita saja, maka strategi pembelajaran A juga akan sama efektifnya dengan strategi pembelajaran C.
Jadi, kalau interaksi antara variabel bebas tidak ada, maka tidak perlu dilakukan uji lanjut antar sel pada kolom/baris yang sama. Kesimpulan pembandingan rataan antar sel mengacu kepada kesimpulan pembandingan rataan marginalnya.
Kesimpulan penelitian
Berdasarkan analisis variansi dan uji lanjut setelah analisis variansi, kesimpulan penelitian untuk Contoh 12 diatas adalah
1. Siswa wanita lebih baik prestasinya dibandingkan dengan siswa pria, baik secara umum maupun jika ditinjau pada masing-masing strategi pembelajaran
2. Strategi pembelajaran A lebih efektif dibandingkan dengan strategi pembelajaran B, strategi pembelajaran C lebih efektif dibandingkan dengan strategi pembelajaran B, dan strategi pembelajaran A sama efektifnya dengan strategi pembelajaran C; baik secara umum maupun kalau ditinjau dari masing-masing jenis kelamin
Perhatikan bahwa pada kesimpulan penelitian tersebut, kata interaksi tidak muncul, namun esensi interaksi tersebut secara implisit telah tertuang pada kesimpulan tersebut.
Profil Efek Bersama (Interaksi)
Secara grafis, tidak adanya interaksi antara jenis kelamin dan strategi pembelajaran pada Contoh 12 dapat dilihat pada gambar berikut
Gambar Profil Efek Variabel Jenis Kelamin
Pada gambar itu, profil siswa-siswa wanita dan profil siswa-siswa pria tidak berpotongan. Dari profil itu dapat juga dilihat bahwa rataan untuk siswa-siswa wanita selalu lebih tinggi dibandingkan dengan rataan untuk siswa-siswa pria, baik pada strategi pembelajaran A, atau B, maupun C
Ada atau tidaknya interaksi dapat diduga dari grafik profil variable-variabel bebasnya. Jika profil variable bebas pertama dan profil variable bebas kedua tidak berpotongan, maka kecenderungannya tidak ada interaksi diantara mereka. Sebaliknya, jika profil variable bebas pertama berpotongan dengan profil variable bebas kedua, maka kecenderungannya ada interaksi diantara keduanya. Namun, ada atau tidaknya interaksi (yang signifikan) tetap saja harus dilihat dari signifikansi interaksi pada analisis variansinya.
Contoh 13
Seorang peneliti ingin melihat mana yang lebih baik, metode ceramah atau metode kerja kelompok, dalam menyampaikan pokok bahasan Persamaan Kuadrat. Dia ingin juga melihat apakah siswa pria dan wanita sama kemampuannya dalam hal menangkap pokok bahasan tersebut dan juga ingin melihat apakah terjadi perbedaan prestasi belajar antara siswa pria dan wanita pada setiap metode pembelajaran. Setelah pokok bahasan Persamaan Kuadrat diberikan dan diberi tes yang sama, nilai-nilai yang diperoleh tampak pada tabel berikut
Tabel Nilai Siswa Pada Pokok Bahasan Persamaan Kuadrat
Jenis Kelamin Metode Mengajar
Ceramah Kerja Kelompok
Pria 4 5 6 8 10
3 5 6 8 7 5 5 7 8 9
4 5 6 7 8
Wanita 7 5 7 8 9
3 4 8 6 9 4 5 3 4 9
3 5 6 8 7
Jika diambil tingkat signifikansi 5%, bagaimana kesimpulan penelitian tersebut?
Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi
Solusi
Uji ANAVA Dua Jalan
1. Perumusan Hipotesa
(a) : untuk setiap i = 1, 2
: paling sedikit ada satu yang tidak nol
(b) : untuk setiap i = 1, 2, 3
(c) : paling sedikit ada satu yang tidak nol
: untuk setiap i = 1, 2 dan j = 1, 2, 3
: paling sedikit ada satu yang tidak nol
2. Taraf signifikansi
3. Statistik yang digunakan :
4. Komputasi :
Jumlah AB
Metode Mengajar Total
Ceramah Kerja Kelompok
Pria 62 64 126 (A1)
Wanita 66 54 120 (A2)
128 (B1) 118 (B2) 246 (G)
JKA = 0.90 dkA = 1 RKA = 0.90 Fa = 0.23
JKB = 2.50 dkB = 1 RKB = 2.50 Fb = 0.64
JKAB = 4.90 dkAB = 1 RKAB = 4.90 Fab = 1.25
JKG = 140.80 dkG = 36 RKG = 3.91
Rangkuman Analisis Variansi Dua Jalan Data pada Tabel Nilai Siswa Pada Pokok Bahasan Persamaan Kuadrat diatas adalah sebagai berikut
Rangkuman Analisis Variansi Dua Jalan
Sumber JK dk RK Fobs F
p
Jenis Kelamin (A)
Metode Mengajar (B)
Interaksi (AB)
Galat 0.90
2.50
4.90
140.80 1
1
1
36 0.90
2.50
4.90
3.91 0.23
0.64
1.25
- 4.12*
4.12*
4.12*
- > 0.05
> 0.05
> 0.05
-
Total 149.10 39 - - - -
Tabel Rataan Nilai
Metode Mengajar Rataan Marginal
Ceramah Kerja Kelompok
Pria 6.20 6.40 6.30
Wanita 6.60 5.40 6.00
Rataan Marginal 6.40 5.90
5. Daerah Kritik
Untuk Fa adalah DK = {F|F>F0.05;1;12} = { F|F>4.12}
Untuk Fb adalah DK = {F|F>F0.05;2;12} = { F|F>4.12}
Untuk Fab adalah DK = {F|F>F0.05;2;12} = { F|F>4.12}
6. Keputusan
H0A = H0B = H0AB diterima
7. Kesimpulan
Ketiga hipotesa nol diterima, berarti
(1). Tidak ada perbedaan prestasi belajar antara siswa-siswa pria dan siswa-siswa wanita
(2). Tidak ada perbedaan efek antara metode ceramah dan metode kerja kelompok
(3). Tidak ada interaksi antara jenis kelamin dan metode mengajar
Tidak adanya interaksi antara jenis kelamin dan metode pembelajaran pada Contoh 13 memberi arti bahwa, misalnya, kalau pada kelompok siswa pria saja, ceramah juga akan sama efeknya dengan kerja kelompok. Demikian juga untuk kelompok wanita, ceramah juga sama efeknya dengan kerja kelompok.
Dari sisi kolom, tidak adanya interaksi memberi arti bahwa pada ceramah, antara siswa pria dan siswa wanita tidak ada perbedaan prestasi, dan hal yang sama berlaku kalau dilihat pada metode kerja kelompok.
Perhatikan gambar grafik berikut
Gambar Profil Efek Variabel Metode Pembelajaran
Dapat dilihat pada gambar diatas, profil untuk metode ceramah berpotongan dengan profil untuk metode kerja kelompok. Namun, adanya perpotongan ini tidak berarti adanya interaksi antara variable jenis kelamin dan metode mengajar. Antara rataan sel ”Pria-Kerja Kelompok” dan rataan sel ”Wanita- Kelompok”, yang kalau dilihat sepentas berbeda, sebenarnya tidak menunjukkan perbedaan berarti (perbedaan yang signifikan). Hal ini juga dapat ditunjukkan dengan uji Sceffe’ berikut ini
Dengan
DK = {F|F>(3)F0.05;3;36} = {F|F>(3)(2.87)} = {F|F>8.61}
Sehingga Ho diterima, yang berarti atau dengan kata lain, pada metode kerja kelompok, siswa-siswa pria tidak berbeda prestasinya dibandingkan dengan siswa-siswa wanita.
Ilustrasi tersebut sekali lagi menunjukkan bahwa jika interaksi tidak ada, maka tidak perlu uji komparasi ganda antar sel setelah ANAVA
Kesimpulan Penelitian Contoh 13
1. Tidak ada perbedaan antara metode ceramah dengan metode kerja kelompok, baik secara umum maupun kalau ditinjau dari masing-masing jenis kelamin (pria dan wanita)
2. Tidak ada perbedaan prestasi antara pria dan wanita, baik secara umum maupun kalau ditinjau dari masing-masing metode mengajar (ceramah dan kerja kelompok).
Contoh 14
Seorang peneliti ingin melihat apakah metode pembelajaran 9yang dalam hal ini adalah metode ceramah dan metode diskusi) berpengaruh terhadap prestasi belajar. Kecuali juga ingin dilihat apakah siswa-siswa yang mempunyai kategori IQ yang berbeda (tinggi, sedang, dan rendah) mempunyai prestasi belajar yang berbeda pula. Setelah eksperimen selesai, dari populasinya secara random diambil masing-masing sel 4 orang seperti tampak pada tabel berikut
Tabel Prestasi Belajar Ditinjau dari IQ dan Metode Mengajar
IQ Metode Mengajar
Ceramah (C) Diskusi (D)
Tinggi (T) 7 8 9 8 8 8 8 8
Sedang (S) 5 6 7 6 9 7 8 8
Rendah (R) 3 4 5 4 4 2 3 3
Jika diambil tingkat signifikansi 5%, bagaimana kesimpulan penelitian tersebut?
Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi
Solusi.
G. ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE TIGA JALAN
Tidak ada komentar:
Posting Komentar